Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1176

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=u^2;

найти

d^{10}y

Решение

Идея

Так как

u

является дифференцируемой функцией от некоторой переменной

x

, мы не можем считать

d^k u = 0

для

k \ge 2

. Для нахождения дифференциала

n

-го порядка от произведения двух функций справедлива формула Лейбница (аналогичная формуле для производных):

d^n(uv) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} d^k u \, d^{n-k} v

Применим её к функции

y = u \cdot u

для

n=10

d^{10}(u^2) = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} d^k u \, d^{10-k} u

Выпишем биномиальные коэффициенты

\binom{10}{k}

:
1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1.
Пользуясь симметрией

\binom{10}{k} = \binom{10}{10-k}

, сгруппируем одинаковые по составу дифференциалов слагаемые (например,

d^0u \, d^{10}u = u \, d^{10}u

d^{10}u \, d^0u = u \, d^{10}u

\begin{aligned}d^{10}y &= 2 \binom{10}{0} u \, d^{10}u + 2 \binom{10}{1} du \, d^9u + 2 \binom{10}{2} d^2u \, d^8u \\&\quad + 2 \binom{10}{3} d^3u \, d^7u + 2 \binom{10}{4} d^4u \, d^6u + \binom{10}{5} d^5u \, d^5u\end{aligned}

Подставим значения коэффициентов:

d^{10}y = 2u \, d^{10}u + 20du \, d^9u + 90d^2u \, d^8u + 240d^3u \, d^7u + 420d^4u \, d^6u + 252(d^5u)^2