Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1176

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти дифференциал указанного порядка, если

u

— функция от

x

, дифференцируемая достаточное число раз:

y=u^2;

найти

d^{10}y

Решение

Так как

u

является дифференцируемой функцией от некоторой переменной

x

, мы не можем считать

d^k u = 0

для

k \ge 2

. Для нахождения дифференциала

n

-го порядка от произведения двух функций справедлива формула Лейбница (аналогичная формуле для производных):

d^n(uv) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} d^k u \, d^{n-k} v

Применим её к функции

y = u \cdot u

для

n=10

d^{10}(u^2) = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} d^k u \, d^{10-k} u

Коэффициенты вычислим по правилу

\binom{10}{k+1}=\binom{10}k(10-k)/(k+1)

. Начиная с

\binom{10}0=1

, получаем

\binom{10}1=1\cdot10=10,\qquad \binom{10}2=10\cdot9/2=45,

\binom{10}3=45\cdot8/3=120,\quad \binom{10}4=120\cdot7/4=210,\quad \binom{10}5=210\cdot6/5=252.

Остальные коэффициенты равны им в обратном порядке по симметрии.
Пользуясь симметрией

\binom{10}{k} = \binom{10}{10-k}

, сгруппируем одинаковые по составу дифференциалов слагаемые (например,

d^0u \, d^{10}u = u \, d^{10}u

d^{10}u \, d^0u = u \, d^{10}u

\begin{aligned}d^{10}y &= 2 \binom{10}{0} u \, d^{10}u + 2 \binom{10}{1} du \, d^9u + 2 \binom{10}{2} d^2u \, d^8u \\&\quad + 2 \binom{10}{3} d^3u \, d^7u + 2 \binom{10}{4} d^4u \, d^6u + \binom{10}{5} d^5u \, d^5u\end{aligned}

Подставим значения коэффициентов:

d^{10}y = 2u \, d^{10}u + 20du \, d^9u + 90d^2u \, d^8u + 240d^3u \, d^7u + 420d^4u \, d^6u + 252(d^5u)^2