Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1164

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\frac{\ln x}{x};

найти

y^{(5)}

Решение

Представим функцию в виде произведения

y = \ln x \cdot x^{-1}

и воспользуемся формулой Лейбница:

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

Положим

u = \ln x

v = x^{-1}

. Выпишем их производные до 5-го порядка.
Для

u = \ln x

u^{(0)} = \ln x, \quad u^{(1)} = x^{-1}, \quad u^{(2)} = -x^{-2}, \quad u^{(3)} = 2x^{-3}, \quad u^{(4)} = -6x^{-4}, \quad u^{(5)} = 24x^{-5}

Для

v = x^{-1}

общая формула

k

-й производной:

v^{(k)} = (-1)^k k! x^{-k-1}

v^{(0)} = x^{-1}, \quad v^{(1)} = -x^{-2}, \quad v^{(2)} = 2x^{-3}, \quad v^{(3)} = -6x^{-4}, \quad v^{(4)} = 24x^{-5}, \quad v^{(5)} = -120x^{-6}

Для коэффициентов используем

\binom50=1

\binom51=5

\binom52=5\cdot4/2=10

и симметрию

\binom5k=\binom5{5-k}

. Применим формулу Лейбница для

n=5

y^{(5)} = \binom{5}{0} u^{(0)} v^{(5)} + \binom{5}{1} u^{(1)} v^{(4)} + \binom{5}{2} u^{(2)} v^{(3)} + \binom{5}{3} u^{(3)} v^{(2)} + \binom{5}{4} u^{(4)} v^{(1)} + \binom{5}{5} u^{(5)} v^{(0)}

Подставим найденные производные:

\begin{aligned}y^{(5)} &= 1 \cdot \ln x \cdot (-120x^{-6}) \\&\quad + 5 \cdot (x^{-1}) \cdot (24x^{-5}) \\&\quad + 10 \cdot (-x^{-2}) \cdot (-6x^{-4}) \\&\quad + 10 \cdot (2x^{-3}) \cdot (2x^{-3}) \\&\quad + 5 \cdot (-6x^{-4}) \cdot (-x^{-2}) \\&\quad + 1 \cdot (24x^{-5}) \cdot (x^{-1})\end{aligned}

Вынесем общий множитель

x^{-6}

y^{(5)} = x^{-6} \left( -120\ln x + 120 + 60 + 40 + 30 + 24 \right)

Сложим числовые слагаемые:

y^{(5)} = \frac{274 - 120\ln x}{x^6}

Проверка

Формулы применяются при

x>0