Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1188

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1188

y=ax+bcx+dy=\frac{ax+b}{cx+d}

Решение

Идея

Выделим у дроби целую часть, чтобы свести её к степенной функции:
y=ac(cx+d)−adc+bcx+d=ac+bc−adc(cx+d)=ac+bc−adc(cx+d)−1y = \frac{\frac{a}{c}(cx+d) - \frac{ad}{c} + b}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c}(cx+d)^{-1}При вычислении nn-й производной (n≥1n \ge 1) константа ac\frac{a}{c} обращается в нуль. Найдём nn-ю производную функции (cx+d)−1(cx+d)^{-1}:((cx+d)−1)′=−(cx+d)−2⋅c\left( (cx+d)^{-1} \right)' = -(cx+d)^{-2} \cdot c((cx+d)−1)′′=2(cx+d)−3⋅c2\left( (cx+d)^{-1} \right)'' = 2(cx+d)^{-3} \cdot c^2В общем виде для любого натурального nn:((cx+d)−1)(n)=(−1)nn!cn(cx+d)−n−1\left( (cx+d)^{-1} \right)^{(n)} = (-1)^n n! c^n (cx+d)^{-n-1}Умножим полученный результат на постоянный коэффициент bc−adc\frac{bc-ad}{c}:y(n)=bc−adc⋅(−1)nn!cn(cx+d)−n−1=(−1)nn!cn−1(bc−ad)(cx+d)n+1y^{(n)} = \frac{bc-ad}{c} \cdot (-1)^n n! c^n (cx+d)^{-n-1} = \frac{(-1)^n n! c^{n-1} (bc-ad)}{(cx+d)^{n+1}}
Демидович № 1188 — решение