Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1188

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти y(n)y^{(n)}, если:

Задача 1188

y=ax+bcx+dy=\frac{ax+b}{cx+d}

Решение

Сначала считаем c≠0c\ne0 и cx+d≠0cx+d\ne0. Выделим у дроби целую часть,
чтобы свести её к степенной функции:
y=ac(cx+d)−adc+bcx+d=ac+bc−adc(cx+d)=ac+bc−adc(cx+d)−1y = \frac{\frac{a}{c}(cx+d) - \frac{ad}{c} + b}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c}(cx+d)^{-1}При вычислении nn-й производной (n≥1n \ge 1) константа ac\frac{a}{c} обращается в нуль. Найдём nn-ю производную функции (cx+d)−1(cx+d)^{-1}:((cx+d)−1)′=−(cx+d)−2⋅c\left( (cx+d)^{-1} \right)' = -(cx+d)^{-2} \cdot c((cx+d)−1)′′=2(cx+d)−3⋅c2\left( (cx+d)^{-1} \right)'' = 2(cx+d)^{-3} \cdot c^2В общем виде для любого натурального nn:((cx+d)−1)(n)=(−1)nn!cn(cx+d)−n−1\left( (cx+d)^{-1} \right)^{(n)} = (-1)^n n! c^n (cx+d)^{-n-1}Умножим полученный результат на постоянный коэффициент bc−adc\frac{bc-ad}{c}:y(n)=bc−adc⋅(−1)nn!cn(cx+d)−n−1=(−1)nn!cn−1(bc−ad)(cx+d)n+1y^{(n)} = \frac{bc-ad}{c} \cdot (-1)^n n! c^n (cx+d)^{-n-1} = \frac{(-1)^n n! c^{n-1} (bc-ad)}{(cx+d)^{n+1}}

Проверка

Если c=0c=0, но d≠0d\ne0, исходная функция равна y=(a/d)x+b/dy=(a/d)x+b/d. Поэтому y′=a/dy'=a/d, а y(n)=0y^{(n)}=0 при n⩾2n\geqslant2. При c=d=0c=d=0 функция не определена. Если c≠0c\ne0 и ad=bcad=bc, функция постоянна на своей области определения; её производные равны нулю, но точка cx+d=0cx+d=0 по-прежнему исключена.
Демидович № 1188 — решение | Высшая математика — Профиматика