Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1200

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\sin^2ax\cos bx

Решение

Сначала понизим степень синуса, используя формулу половинного аргумента:

y = \frac{1 - \cos 2ax}{2} \cos bx = \frac{1}{2}\cos bx - \frac{1}{2}\cos 2ax \cos bx

Теперь преобразуем произведение косинусов в сумму:

\cos 2ax \cos bx = \frac{1}{2} \left[ \cos(2a-b)x + \cos(2a+b)x \right]

Подставим это выражение обратно:

y = \frac{1}{2}\cos bx - \frac{1}{4}\cos(2a-b)x - \frac{1}{4}\cos(2a+b)x

Функция представлена в виде линейной комбинации косинусов. Найдём её

n

-ю производную по стандартной формуле:

\begin{aligned}y^{(n)} &= \frac{1}{2} b^n \cos\left(bx + \frac{\pi n}{2}\right) - \frac{1}{4} (2a-b)^n \cos\left((2a-b)x + \frac{\pi n}{2}\right) \\&\quad - \frac{1}{4} (2a+b)^n \cos\left((2a+b)x + \frac{\pi n}{2}\right)\end{aligned}