Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1203

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=x^2\sin ax

Решение

Сначала пусть

a\ne0

n\geqslant2

. Используем формулу Лейбница. Положим

u = x^2

v = \sin ax

. Так как

u

— многочлен второй степени, отличными от нуля будут лишь первые три слагаемые суммы Лейбница:

y^{(n)} = x^2 v^{(n)} + n(2x) v^{(n-1)} + \frac{n(n-1)}{2} (2) v^{(n-2)}

Для

v = \sin ax

производная

k

-го порядка равна

v^{(k)} = a^k \sin\left(ax + \frac{\pi k}{2}\right)

. Найдём нужные нам производные, применяя формулы приведения:

v^{(n)} = a^n \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right)

v^{(n-1)} = a^{n-1} \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}\right) = -a^{n-1} \cos\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right)

v^{(n-2)} = a^{n-2} \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2} - \pi\right) = -a^{n-2} \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right)

Подставим эти производные в разложение Лейбница:

y^{(n)} = x^2 a^n \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right) - 2nx a^{n-1} \cos\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right) - n(n-1) a^{n-2} \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right)

Вынесем общий множитель

a^{n-2}

и сгруппируем слагаемые с синусом и косинусом:

y^{(n)} = a^{n-2} \left[ (a^2 x^2 - n^2 + n) \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right) - 2nax \cos\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right) \right]

Проверка

При

n=1

непосредственно получаем

y'=2x\sin ax+ax^2\cos ax

. При

a\ne0

это совпадает с окончательной формулой после подстановки

n=1

. При

a=0

функция тождественно равна нулю, и все её производные равны нулю.