Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1357

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0} \left[ \frac1{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)} -\frac1{\ln(1+x)} \right]

Ответ:

-\dfrac{1}{2}

Решение

Идея

Обозначим

\ln(x+\sqrt{1+x^2}) = \operatorname{Arsh} x

. Имеем неопределённость

[\infty - \infty]

. Приведём выражение к общему знаменателю:

\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x) - \operatorname{Arsh} x}{\operatorname{Arsh} x \cdot \ln(1+x)}

Используем эквивалентные бесконечно малые при

x \to 0

\operatorname{Arsh} x \sim x

\ln(1+x) \sim x

. Знаменатель эквивалентен

x \cdot x = x^2

. Перепишем предел:

\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x) - \operatorname{Arsh} x}{x^2}

При

x \to 0

получаем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0} \frac{(\ln(1+x))' - (\operatorname{Arsh} x)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{2x}

Приведём числитель к общему знаменателю:

\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x^2} - (1+x)}{2x(1+x)\sqrt{1+x^2}}

Поскольку при

x \to 0

множитель

(1+x)\sqrt{1+x^2} \to 1

, его можно вынести за знак предела и опустить. Предел упрощается до:

\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1 - x}{2x} = \lim_{x\to0} \left( \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{2x} - \frac{x}{2x} \right)

Рассмотрим первое слагаемое. При

x \to 0

биномиальное разложение даёт

\sqrt{1+x^2} - 1 \sim \frac{x^2}{2}

, поэтому:

\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{2x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{x^2}{2}}{2x} = \lim_{x\to0} \frac{x}{4} = 0

Второе слагаемое есть константа:

\lim_{x\to0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}

Тогда итоговый предел равен:

0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}