Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1357

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1357

lim⁡x→0[1ln⁡(x+1+x2)−1ln⁡(1+x)]\lim_{x\to0} \left[ \frac1{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)} -\frac1{\ln(1+x)} \right]
Ответ:−12-\dfrac{1}{2}

Решение

Обозначим ln⁡(x+1+x2)=Arsh⁡x\ln(x+\sqrt{1+x^2}) = \operatorname{Arsh} x. Имеем неопределённость [∞−∞][\infty - \infty]. Приведём выражение к общему знаменателю:
lim⁡x→0ln⁡(1+x)−Arsh⁡xArsh⁡x⋅ln⁡(1+x)\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x) - \operatorname{Arsh} x}{\operatorname{Arsh} x \cdot \ln(1+x)}Используем эквивалентные бесконечно малые при x→0x \to 0: Arsh⁡x∼x\operatorname{Arsh} x \sim x и ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim x. Знаменатель эквивалентен x⋅x=x2x \cdot x = x^2. Перепишем предел:lim⁡x→0ln⁡(1+x)−Arsh⁡xx2\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x) - \operatorname{Arsh} x}{x^2}При x→0x \to 0 получаем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(ln⁡(1+x))′−(Arsh⁡x)′(x2)′=lim⁡x→011+x−11+x22x\lim_{x\to0} \frac{(\ln(1+x))' - (\operatorname{Arsh} x)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{2x}Приведём числитель к общему знаменателю:lim⁡x→01+x2−(1+x)2x(1+x)1+x2\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x^2} - (1+x)}{2x(1+x)\sqrt{1+x^2}}Поскольку при x→0x \to 0 множитель (1+x)1+x2→1(1+x)\sqrt{1+x^2} \to 1, его можно вынести за знак предела и опустить. Предел упрощается до:lim⁡x→01+x2−1−x2x=lim⁡x→0(1+x2−12x−x2x)\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1 - x}{2x} = \lim_{x\to0} \left( \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{2x} - \frac{x}{2x} \right)Рассмотрим первое слагаемое. Умножим на сопряжённое выражение:1+x2−12x=x22x(1+x2+1)=x2(1+x2+1)⟶0.\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{2x}
=\frac{x^2}{2x(\sqrt{1+x^2}+1)}
=\frac{x}{2(\sqrt{1+x^2}+1)}\longrightarrow0.Второе слагаемое есть константа:lim⁡x→0x2x=12\lim_{x\to0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}Тогда итоговый предел равен:0−12=−120 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}

Проверка

При ∣x∣<1/2|x|<1/2, x≠0x\ne0 оба логарифма определены и ненулевые. Равенство Arsh⁡0=0\operatorname{Arsh}0=0 и производная Arsh⁡′0=1\operatorname{Arsh}'0=1 дают Arsh⁡x/x→1\operatorname{Arsh}x/x\to1 по определению производной. Поэтому замена произведения в знаменателе на x2x^2 законна. При применении Лопиталя производная знаменателя 2x≠02x\ne0.
Демидович № 1357 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика