Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1339

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-0{,}01x}

Ответ:

0

Решение

Перепишем выражение в виде дроби, чтобы свести неопределённость

[\infty \cdot 0]

к виду

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^{0{,}01x}}

Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2)'}{(e^{0{,}01x})'} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{0{,}01e^{0{,}01x}}

Получена новая неопределённость

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

. Применим правило Лопиталя второй раз:

\lim_{x\to+\infty}\frac{(2x)'}{(0{,}01e^{0{,}01x})'} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{0{,}01 \cdot 0{,}01e^{0{,}01x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{0{,}0001e^{0{,}01x}}

При

x \to +\infty

знаменатель стремится к бесконечности, а числитель остаётся константой. Следовательно, предел дроби равен нулю.

Проверка

На обоих шагах производные знаменателей положительны:

0{,}01e^{0{,}01x}

0{,}0001e^{0{,}01x}

. Числитель и знаменатель перед каждым применением стремятся к

+\infty