Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1324

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{\sqrt[3]{\operatorname{tg} x}-1}{2\sin^2x-1}

Ответ:

\dfrac{1}{3}

Решение

Подстановка

x = \frac{\pi}{4}

даёт в числителе

1-1=0

, а в знаменателе

2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-1 = 0

. Имеем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

.
Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{(\sqrt[3]{\operatorname{tg} x}-1)'}{(2\sin^2x-1)'} = \lim_{x\to\frac\pi4}\frac{\frac{1}{3}(\operatorname{tg} x)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{2 \cdot 2\sin x\cos x}

Используем формулу синуса двойного угла

2\sin x\cos x = \sin 2x

\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{\frac{1}{3\cos^2 x \sqrt[3]{\operatorname{tg}^2 x}}}{2\sin 2x}

Вычислим предел, подставив

x = \frac{\pi}{4}

\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \cos^2\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}

\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 \implies \sqrt[3]{\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{4}} = 1

\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1

Подставляем полученные значения:

\frac{\frac{1}{3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}

Проверка

Около

\pi/4

тангенс положителен, его кубический корень дифференцируем, а производная знаменателя

2\sin2x

стремится к

2

и потому не равна нулю в достаточно малой окрестности.