Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1367

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1367

lim⁡x→0ln⁡ch⁡xch⁡xm−ch⁡xn\lim_{x\to0}\frac{\ln\operatorname{ch} x}{\sqrt[m]{\operatorname{ch} x}-\sqrt[n]{\operatorname{ch} x}}
Ответ:mnn−m\dfrac{mn}{n-m} при m≠nm\ne n; при m=nm=n исходное выражение не определено.

Решение

Сделаем замену переменной. Пусть t=ch⁡xt = \operatorname{ch} x. При x→0x \to 0 переменная t→1+0t \to 1+0. Предел принимает вид:
lim⁡t→1+0ln⁡tt1m−t1n\lim_{t\to1+0} \frac{\ln t}{t^{\frac{1}{m}} - t^{\frac{1}{n}}}При t→1t \to 1 получаем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя по переменной tt:lim⁡t→1+0(ln⁡t)′(t1m−t1n)′=lim⁡t→1+01t1mt1m−1−1nt1n−1\lim_{t\to1+0} \frac{(\ln t)'}{\left( t^{\frac{1}{m}} - t^{\frac{1}{n}} \right)'} = \lim_{t\to1+0} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{m}t^{\frac{1}{m}-1} - \frac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1}}Подставим t=1t = 1 в полученное выражение:111m⋅1−1n⋅1=11m−1n=1n−mmn=mnn−m\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{m} \cdot 1 - \frac{1}{n} \cdot 1} = \frac{1}{\frac{1}{m} - \frac{1}{n}} = \frac{1}{\frac{n-m}{mn}} = \frac{mn}{n-m}

Проверка

Индексы корней m,nm,n — положительные целые числа. При m≠nm\ne n производная знаменателя по tt стремится к 1/m−1/n≠01/m-1/n\ne0 и потому отлична от нуля в достаточно малой окрестности t=1t=1. Правило Лопиталя применимо при t→1+0t\to1+0. Если m=nm=n, знаменатель тождественно равен нулю: исходное отношение не определено.
Демидович № 1367 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика