Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1367

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{\ln\operatorname{ch} x}{\sqrt[m]{\operatorname{ch} x}-\sqrt[n]{\operatorname{ch} x}}

Ответ:

\dfrac{mn}{n-m}

Решение

Идея

Сделаем замену переменной. Пусть

t = \operatorname{ch} x

. При

x \to 0

переменная

t \to 1+0

. Предел принимает вид:

\lim_{t\to1} \frac{\ln t}{t^{\frac{1}{m}} - t^{\frac{1}{n}}}

При

t \to 1

получаем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя по переменной

t

\lim_{t\to1} \frac{(\ln t)'}{\left( t^{\frac{1}{m}} - t^{\frac{1}{n}} \right)'} = \lim_{t\to1} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{m}t^{\frac{1}{m}-1} - \frac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1}}

Подставим

t = 1

в полученное выражение:

\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{m} \cdot 1 - \frac{1}{n} \cdot 1} = \frac{1}{\frac{1}{m} - \frac{1}{n}} = \frac{1}{\frac{n-m}{mn}} = \frac{mn}{n-m}