Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1334

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac1x \left(\frac1{\operatorname{th}x}-\frac1{\operatorname{tg} x}\right)

Ответ:

\dfrac{2}{3}

Решение

Идея

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-\operatorname{th}x}{x\operatorname{th}x\operatorname{tg} x}

При

x \to 0

функции

\operatorname{th}x

\operatorname{tg} x

эквивалентны

x

, поэтому знаменатель эквивалентен

x \cdot x \cdot x = x^3

. Заменим знаменатель на эквивалентную бесконечно малую для упрощения дифференцирования:

\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-\operatorname{th}x}{x^3}

Имеем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{tg} x-\operatorname{th}x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}}{3x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}^2 x-\cos^2 x}{3x^2\cos^2 x\operatorname{ch}^2 x}

Так как

\lim\limits_{x\to0}(\cos^2 x\operatorname{ch}^2 x) = 1 \cdot 1 = 1

, этот множитель можно отбросить:

\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}^2 x-\cos^2 x}{3x^2}

Снова применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{ch}^2 x-\cos^2 x)'}{(3x^2)'} = \lim_{x\to0}\frac{2\operatorname{ch}x\operatorname{sh}x - 2\cos x(-\sin x)}{6x} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}2x+\sin 2x}{6x}

Разобьём предел на сумму двух пределов и воспользуемся эквивалентностями

\operatorname{sh}2x \sim 2x

\sin 2x \sim 2x

\lim_{x\to0}\left( \frac{\operatorname{sh}2x}{6x} + \frac{\sin 2x}{6x} \right) = \lim_{x\to0}\frac{2x}{6x} + \lim_{x\to0}\frac{2x}{6x} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}