Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1334

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1334

lim⁡x→01x(1th⁡x−1tg⁡x)\lim_{x\to0}\frac1x \left(\frac1{\operatorname{th}x}-\frac1{\operatorname{tg} x}\right)
Ответ:23\dfrac{2}{3}

Решение

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
lim⁡x→0tg⁡x−th⁡xxth⁡xtg⁡x\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-\operatorname{th}x}{x\operatorname{th}x\operatorname{tg} x}При x→0x \to 0 функции th⁡x\operatorname{th}x и tg⁡x\operatorname{tg} x эквивалентны xx, поэтому знаменатель эквивалентен x⋅x⋅x=x3x \cdot x \cdot x = x^3. Заменим знаменатель на эквивалентную бесконечно малую для упрощения дифференцирования:lim⁡x→0tg⁡x−th⁡xx3\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-\operatorname{th}x}{x^3}Имеем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(tg⁡x−th⁡x)′(x3)′=lim⁡x→01cos⁡2x−1ch⁡2x3x2=lim⁡x→0ch⁡2x−cos⁡2x3x2cos⁡2xch⁡2x\lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{tg} x-\operatorname{th}x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}}{3x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}^2 x-\cos^2 x}{3x^2\cos^2 x\operatorname{ch}^2 x}Так как lim⁡x→0(cos⁡2xch⁡2x)=1⋅1=1\lim\limits_{x\to0}(\cos^2 x\operatorname{ch}^2 x) = 1 \cdot 1 = 1, этот множитель можно отбросить:lim⁡x→0ch⁡2x−cos⁡2x3x2\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}^2 x-\cos^2 x}{3x^2}Снова применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(ch⁡2x−cos⁡2x)′(3x2)′=lim⁡x→02ch⁡xsh⁡x−2cos⁡x(−sin⁡x)6x=lim⁡x→0sh⁡2x+sin⁡2x6x\lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{ch}^2 x-\cos^2 x)'}{(3x^2)'} = \lim_{x\to0}\frac{2\operatorname{ch}x\operatorname{sh}x - 2\cos x(-\sin x)}{6x} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}2x+\sin 2x}{6x}Разобьём предел на сумму двух пределов и воспользуемся эквивалентностями sh⁡2x∼2x\operatorname{sh}2x \sim 2x и sin⁡2x∼2x\sin 2x \sim 2x:lim⁡x→0(sh⁡2x6x+sin⁡2x6x)=lim⁡x→02x6x+lim⁡x→02x6x=13+13=23\lim_{x\to0}\left( \frac{\operatorname{sh}2x}{6x} + \frac{\sin 2x}{6x} \right) = \lim_{x\to0}\frac{2x}{6x} + \lim_{x\to0}\frac{2x}{6x} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Проверка

При достаточно малом x≠0x\ne0 тангенс и гиперболический тангенс определены и ненулевые. В двух применениях Лопиталя производные знаменателей равны 3x23x^2 и 6x6x, обе ненулевые. Неопределённость перед вторым применением также имеет вид 0/00/0.
Демидович № 1334 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика