Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1321

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{3\operatorname{tg}4x-12\operatorname{tg} x}{3\sin4x-12\sin x}

Ответ:

-2

Решение

Сократим числитель и знаменатель дроби на 3:

\lim_{x\to0}\frac{3\operatorname{tg}4x-12\operatorname{tg} x}{3\sin4x-12\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}4x-4\operatorname{tg} x}{\sin4x-4\sin x}

При

x \to 0

имеем неопределённость вида

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{tg}4x-4\operatorname{tg} x)'}{(\sin4x-4\sin x)'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{4}{\cos^2 4x}-\frac{4}{\cos^2 x}}{4\cos4x-4\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos^2 4x}-\frac{1}{\cos^2 x}}{\cos4x-\cos x}

Приведём числитель к общему знаменателю:

\frac{1}{\cos^2 4x} - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \cos^2 4x}{\cos^2 4x \cos^2 x} = \frac{(\cos x - \cos 4x)(\cos x + \cos 4x)}{\cos^2 4x \cos^2 x}

Подставим это преобразование в предел:

\lim_{x\to0}\frac{(\cos x - \cos 4x)(\cos x + \cos 4x)}{\cos^2 4x \cos^2 x \cdot (\cos 4x - \cos x)} = \lim_{x\to0}\left( -\frac{\cos x + \cos 4x}{\cos^2 4x \cos^2 x} \right)

Вычислим предел непосредственной подстановкой

x = 0

-\frac{\cos 0 + \cos 0}{\cos^2 0 \cdot \cos^2 0} = -\frac{1 + 1}{1 \cdot 1} = -2