Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1321

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1321

lim⁡x→03tg⁡4x−12tg⁡x3sin⁡4x−12sin⁡x\lim_{x\to0}\frac{3\operatorname{tg}4x-12\operatorname{tg} x}{3\sin4x-12\sin x}
Ответ:−2-2

Решение

Сократим числитель и знаменатель дроби на 3:lim⁡x→03tg⁡4x−12tg⁡x3sin⁡4x−12sin⁡x=lim⁡x→0tg⁡4x−4tg⁡xsin⁡4x−4sin⁡x\lim_{x\to0}\frac{3\operatorname{tg}4x-12\operatorname{tg} x}{3\sin4x-12\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}4x-4\operatorname{tg} x}{\sin4x-4\sin x}При x→0x \to 0 имеем неопределённость вида [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(tg⁡4x−4tg⁡x)′(sin⁡4x−4sin⁡x)′=lim⁡x→04cos⁡24x−4cos⁡2x4cos⁡4x−4cos⁡x=lim⁡x→01cos⁡24x−1cos⁡2xcos⁡4x−cos⁡x\lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{tg}4x-4\operatorname{tg} x)'}{(\sin4x-4\sin x)'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{4}{\cos^2 4x}-\frac{4}{\cos^2 x}}{4\cos4x-4\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos^2 4x}-\frac{1}{\cos^2 x}}{\cos4x-\cos x}Приведём числитель к общему знаменателю:1cos⁡24x−1cos⁡2x=cos⁡2x−cos⁡24xcos⁡24xcos⁡2x=(cos⁡x−cos⁡4x)(cos⁡x+cos⁡4x)cos⁡24xcos⁡2x\frac{1}{\cos^2 4x} - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \cos^2 4x}{\cos^2 4x \cos^2 x} = \frac{(\cos x - \cos 4x)(\cos x + \cos 4x)}{\cos^2 4x \cos^2 x}Подставим это преобразование в предел:lim⁡x→0(cos⁡x−cos⁡4x)(cos⁡x+cos⁡4x)cos⁡24xcos⁡2x⋅(cos⁡4x−cos⁡x)=lim⁡x→0(−cos⁡x+cos⁡4xcos⁡24xcos⁡2x)\lim_{x\to0}\frac{(\cos x - \cos 4x)(\cos x + \cos 4x)}{\cos^2 4x \cos^2 x \cdot (\cos 4x - \cos x)} = \lim_{x\to0}\left( -\frac{\cos x + \cos 4x}{\cos^2 4x \cos^2 x} \right)Вычислим предел непосредственной подстановкой x=0x = 0:−cos⁡0+cos⁡0cos⁡20⋅cos⁡20=−1+11⋅1=−2-\frac{\cos 0 + \cos 0}{\cos^2 0 \cdot \cos^2 0} = -\frac{1 + 1}{1 \cdot 1} = -2

Проверка

При 0<∣x∣<π/80<|x|<\pi/8 оба тангенса дифференцируемы, а производная знаменателя 4(cos⁡4x−cos⁡x)=−8sin⁡(5x/2)sin⁡(3x/2)4(\cos4x-\cos x)=-8\sin(5x/2)\sin(3x/2) не равна нулю. Поэтому правило Лопиталя и последующее сокращение применимы.