Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1331

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{\ln(\sin ax)}{\ln(\sin bx)}

Ответ:

1

при

ab>0

, с подходом со стороны

ax>0

. При

ab\le0

у выражения нет вещественной области, примыкающей к нулю.

Решение

Для вещественных логарифмов нужны

\sin ax>0

\sin bx>0

. Вблизи нуля это возможно только при

ab>0

: если

a,b>0

, подходим справа, если

a,b<0

— слева. При

ab\le0

выражение не определено вблизи нуля на общей вещественной области. Далее рассматриваем допустимую сторону при

ab>0

. Оба логарифма стремятся к

-\infty

, поэтому используем вид

\infty/\infty

\lim_{x\to0}\frac{(\ln(\sin ax))'}{(\ln(\sin bx))'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sin ax} \cdot a\cos ax}{\frac{1}{\sin bx} \cdot b\cos bx} = \lim_{x\to0}\left( \frac{a\cos ax}{b\cos bx} \cdot \frac{\sin bx}{\sin ax} \right)

Разобьём предел на произведение двух пределов:

\lim_{x\to0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx} \cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin bx}{\sin ax}

Первый предел вычисляется прямой подстановкой:

\lim_{x\to0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 1} = \frac{a}{b}

Ко второму пределу применим следствие из первого замечательного предела (

\sin kx \sim kx

при

x \to 0

\lim_{x\to0}\frac{\sin bx}{\sin ax} = \lim_{x\to0}\frac{bx}{ax} = \frac{b}{a}

Перемножив результаты, получим:

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1

Проверка

На допустимой стороне около нуля функции дифференцируемы, а производная знаменателя

b\cos bx/\sin bx

не равна нулю:

b\ne0

, синус положителен, косинус близок к

1

. Полученный предел отношения производных равен

1