Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1364

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\left[\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}\right]^{\frac1x}

Ответ:

e^{-1/2}

Решение

Так как

\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e

, основание стремится к

1

, а модуль показателя степени — к

+\infty

. Имеем неопределённость

\left[1^\infty\right]

. Перейдём к экспоненте:

\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x} \ln\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e} \right)

Рассмотрим предел в показателе степени:

L = \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - \ln e}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{x}\ln(1+x) - 1}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}

Имеем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0} \frac{(\ln(1+x) - x)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{1+x} - 1}{2x}

Приведём числитель к общему знаменателю:

\lim_{x\to0} \frac{1 - (1+x)}{2x(1+x)} = \lim_{x\to0} \frac{-x}{2x(1+x)}

Сократим на

x

\lim_{x\to0} \frac{-1}{2(1+x)} = -\frac{1}{2}

Итоговый предел равен:

e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}

Проверка

При

0<|x|<1

основание степени положительно. В отношении

(\ln(1+x)-x)/x^2

возникает вид

0/0

, обе функции дифференцируемы, а

2x\ne0

; поэтому правило Лопиталя применимо с обеих сторон.