Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1364

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1364

lim⁡x→0[(1+x)1xe]1x\lim_{x\to0}
\left[
\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}
\right]^{\frac1x}
Ответ:e−1/2e^{-1/2}

Решение

Идея

Так как lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e, основание стремится к 11, а показатель степени — к ∞\infty. Имеем неопределённость [1∞]\left[1^\infty\right]. Перейдём к экспоненте:
lim⁡x→0exp⁡(1xln⁡(1+x)1xe)\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x} \ln\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e} \right)Рассмотрим предел в показателе степени:L=lim⁡x→0ln⁡(1+x)1x−ln⁡ex=lim⁡x→01xln⁡(1+x)−1x=lim⁡x→0ln⁡(1+x)−xx2L = \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - \ln e}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{x}\ln(1+x) - 1}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}Имеем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(ln⁡(1+x)−x)′(x2)′=lim⁡x→011+x−12x\lim_{x\to0} \frac{(\ln(1+x) - x)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{1+x} - 1}{2x}Приведём числитель к общему знаменателю:lim⁡x→01−(1+x)2x(1+x)=lim⁡x→0−x2x(1+x)\lim_{x\to0} \frac{1 - (1+x)}{2x(1+x)} = \lim_{x\to0} \frac{-x}{2x(1+x)}Сократим на xx:lim⁡x→0−12(1+x)=−12\lim_{x\to0} \frac{-1}{2(1+x)} = -\frac{1}{2}Итоговый предел равен:e−1/2=1ee^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}