Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1338

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^{1000}}

Ответ:

0

Решение

Идея

Сделаем замену переменной

t = \frac{1}{x^2}

. При

x \to 0

новая переменная

t \to +\infty

.
Выразим знаменатель через

t

x^{1000} = (x^2)^{500} = \frac{1}{t^{500}}

.
Предел принимает вид:

Проверка

\lim_{t\to+\infty} \frac{e^{-t}}{\frac{1}{t^{500}}} = \lim_{t\to+\infty} \frac{t^{500}}{e^t}

Получили неопределённость

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

. Это частный случай предыдущей задачи (№1337) при

n=500

a=1

.
Показательная функция растёт быстрее любой степенной (что доказывается последовательным применением правила Лопиталя

500

раз, дающим в числителе константу

500!

, а в знаменателе

e^t

). Следовательно:

\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{500}}{e^t} = 0