Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1352

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to a} \left(\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} a}\right)^{\operatorname{ctg}(x-a)}

Ответ:

e^{\frac{2}{\sin 2a}}

Решение

Идея

При

x \to a

основание стремится к

1

, а показатель степени

\operatorname{ctg}(x-a) \to \infty

. Имеем неопределённость вида

\left[1^\infty\right]

.
Перепишем функцию через экспоненту, используя основное логарифмическое тождество:

Проверка

\lim_{x\to a} \exp\left( \operatorname{ctg}(x-a) \ln\left(\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} a}\right) \right)

Рассмотрим предел показателя. Опустим котангенс в знаменатель, перейдя к тангенсу, чтобы свести неопределённость

[\infty \cdot 0]

к виду

\left[\frac{0}{0}\right]

L = \lim_{x\to a} \frac{\ln(\operatorname{tg} x) - \ln(\operatorname{tg} a)}{\operatorname{tg}(x-a)}

Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to a} \frac{(\ln(\operatorname{tg} x) - \ln(\operatorname{tg} a))'}{(\operatorname{tg}(x-a))'} = \lim_{x\to a} \frac{\frac{1}{\operatorname{tg} x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{1}{\cos^2(x-a)}}

Преобразуем числитель:

\frac{1}{\operatorname{tg} x \cos^2 x} = \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}

Подставим это обратно в предел:

\lim_{x\to a} \frac{\frac{2}{\sin 2x}}{\frac{1}{\cos^2(x-a)}} = \lim_{x\to a} \frac{2\cos^2(x-a)}{\sin 2x}

При

x \to a

неопределённости больше нет. Подставляем

x = a

\frac{2\cos^2(a-a)}{\sin 2a} = \frac{2\cos^2 0}{\sin 2a} = \frac{2}{\sin 2a}

Следовательно, исходный предел равен:

e^{\frac{2}{\sin 2a}}