Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1354

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{e^x-1}\right)

Ответ:

\dfrac{1}{2}

Решение

При

x \to 0

имеем неопределённость вида

[\infty - \infty]

. Приведём выражение к общему знаменателю:

\lim_{x\to0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}

В знаменателе заменим множитель

e^x - 1

на эквивалентную бесконечно малую

x

при

x \to 0

, чтобы упростить дифференцирование:

\lim_{x\to0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}

При

x \to 0

получаем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0} \frac{(e^x - 1 - x)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{e^x - 1}{2x}

Так как

e^x - 1 \sim x

, предел принимает вид:

\lim_{x\to0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}

(Этот же результат можно получить повторным применением правила Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}

Проверка

При

x\ne0

экспонента

e^x-1

не равна нулю. Замена знаменателя обоснована отношением

(e^x-1)/x\to1

. В применении Лопиталя производная знаменателя

2x

ненулевая, числитель и знаменатель стремятся к нулю.