Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1360

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{(a+x)^x-a^x}{x^2}, \qquad a>0

Ответ:

\dfrac{1}{a}

Решение

Идея

При

x \to 0

получаем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{((a+x)^x-a^x)'}{(x^2)'}

Представим

(a+x)^x = e^{x\ln(a+x)}

. Найдём её производную:

((a+x)^x)' = (a+x)^x \left( \ln(a+x) + x \cdot \frac{1}{a+x} \right) = (a+x)^x \left( \ln(a+x) + \frac{x}{a+x} \right)

Тогда предел принимает вид:

\lim_{x\to0}\frac{(a+x)^x \left( \ln(a+x) + \frac{x}{a+x} \right) - a^x\ln a}{2x}

При

x=0

числитель равен

a^0(\ln a + 0) - a^0\ln a = 0

. Знаменатель равен

0

. Снова неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя второй раз:

\lim_{x\to0}\frac{\left[ (a+x)^x \left( \ln(a+x) + \frac{x}{a+x} \right) - a^x\ln a \right]'}{(2x)'}

Найдём производную числителя. Используем производную произведения для первого слагаемого:

\left( (a+x)^x \right)' \left( \ln(a+x) + \frac{x}{a+x} \right) + (a+x)^x \left( \frac{1}{a+x} + \frac{1 \cdot (a+x) - x \cdot 1}{(a+x)^2} \right) - a^x\ln^2 a

= (a+x)^x \left( \ln(a+x) + \frac{x}{a+x} \right)^2 + (a+x)^x \left( \frac{1}{a+x} + \frac{a}{(a+x)^2} \right) - a^x\ln^2 a

Подставим

x=0

в это выражение:

a^0 (\ln a + 0)^2 + a^0 \left( \frac{1}{a} + \frac{a}{a^2} \right) - a^0\ln^2 a = \ln^2 a + \frac{2}{a} - \ln^2 a = \frac{2}{a}

Производная знаменателя равна

2

. Итоговый предел равен:

\frac{\frac{2}{a}}{2} = \frac{1}{a}