Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1330

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1330

lim⁡x→1xx−xln⁡x−x+1\lim_{x\to1}\frac{x^x-x}{\ln x-x+1}
Ответ:−2-2

Решение

Идея

Подстановка x=1x=1 даёт неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя. Предварительно найдём производную функции xxx^x, представив её как exln⁡xe^{x\ln x}:
(xx)′=(exln⁡x)′=exln⁡x(xln⁡x)′=xx(1⋅ln⁡x+x⋅1x)=xx(ln⁡x+1)(x^x)' = (e^{x\ln x})' = e^{x\ln x}(x\ln x)' = x^x\left(1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}\right) = x^x(\ln x+1)Вычислим предел отношения производных:lim⁡x→1(xx−x)′(ln⁡x−x+1)′=lim⁡x→1xx(ln⁡x+1)−11x−1\lim_{x\to1}\frac{(x^x-x)'}{(\ln x-x+1)'} = \lim_{x\to1}\frac{x^x(\ln x+1)-1}{\frac{1}{x}-1}При x=1x=1 числитель равен 1(0+1)−1=01(0+1)-1 = 0, а знаменатель 1−1=01-1=0. Снова неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя второй раз:lim⁡x→1(xx(ln⁡x+1)−1)′(1x−1)′=lim⁡x→1(xx)′(ln⁡x+1)+xx(ln⁡x+1)′−1x2\lim_{x\to1}\frac{(x^x(\ln x+1)-1)'}{\left(\frac{1}{x}-1\right)'} = \lim_{x\to1}\frac{(x^x)'(\ln x+1) + x^x(\ln x+1)'}{-\frac{1}{x^2}}Подставим (xx)′(x^x)':lim⁡x→1xx(ln⁡x+1)2+xx1x−1x2\lim_{x\to1}\frac{x^x(\ln x+1)^2 + x^x\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}Вычислим предел прямой подстановкой x=1x=1:11(ln⁡1+1)2+11⋅1−1=1(0+1)2+1−1=2−1=−2\frac{1^1(\ln 1+1)^2 + 1^1\cdot 1}{-1} = \frac{1(0+1)^2 + 1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2