Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1347

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to1}(2-x)^{\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}}

Ответ:

e^{\frac{2}{\pi}}

Решение

При

x \to 1

основание

2-x \to 1

, а показатель

|\operatorname{tg}(\pi x/2)|\to+\infty

. Имеем неопределённость

\left[1^\infty\right]

.
Представим выражение в виде экспоненты:

\lim_{x\to1} e^{\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2} \cdot \ln(2-x)}

Найдём предел показателя. Сведём неопределённость

[\infty \cdot 0]

к виду

\left[\frac{0}{0}\right]

, опустив тангенс в знаменатель как котангенс:

L = \lim_{x\to1} \frac{\ln(2-x)}{\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{2}}

Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to1} \frac{(\ln(2-x))'}{\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{2}\right)'} = \lim_{x\to1} \frac{\frac{-1}{2-x}}{-\frac{1}{\sin^2\frac{\pi x}{2}} \cdot \frac{\pi}{2}} = \lim_{x\to1} \frac{2\sin^2\frac{\pi x}{2}}{\pi(2-x)}

Подставим

x = 1

в полученное выражение (неопределённость устранена):

\frac{2\sin^2\frac{\pi}{2}}{\pi(2-1)} = \frac{2 \cdot 1^2}{\pi \cdot 1} = \frac{2}{\pi}

Возвращаемся к экспоненте, искомый предел равен:

e^{\frac{2}{\pi}}

Проверка

Около

1

имеем

2-x>0

; функции после перехода к котангенсу дифференцируемы. Производная знаменателя

-\pi/(2\sin^2(\pi x/2))

ненулевая. Оба выражения стремятся к нулю, а предел их производных существует с обеих сторон.