Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1346

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to1}x^{\frac1{1-x}}

Ответ:

e^{-1}

Решение

При

x \to 1

основание стремится к

1

, а модуль показателя степени — к бесконечности. Имеем неопределённость вида

\left[1^\infty\right]

.
Перепишем функцию в показательном виде, используя основное логарифмическое тождество:

\lim_{x\to1} x^{\frac{1}{1-x}} = \lim_{x\to1} e^{\frac{\ln x}{1-x}} = e^{\lim\limits_{x\to1} \frac{\ln x}{1-x}}

Вычислим предел в показателе экспоненты. При

x \to 1

возникает неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to1} \frac{\ln x}{1-x} = \lim_{x\to1} \frac{(\ln x)'}{(1-x)'} = \lim_{x\to1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x\to1} \left(-\frac{1}{x}\right) = -1

(Также можно было использовать эквивалентную бесконечно малую

\ln x = \ln(1+(x-1)) \sim x-1

, откуда

\frac{x-1}{1-x} = -1

).
Следовательно, исходный предел равен:

e^{-1} = \frac{1}{e}

Проверка

Около

1

основание

x

положительно. В пределе логарифма имеем вид

0/0

, все функции дифференцируемы, производная знаменателя

-1

ненулевая. Предел

-1

получается с обеих сторон.