Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1322

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\operatorname{tg}3x}{\operatorname{tg} x}

Ответ:

\dfrac{1}{3}

Решение

При

x \to \frac{\pi}{2}

тангенсы обращаются в бесконечность, что даёт неопределённость вида

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

Перейдём от тангенсов к котангенсам, чтобы свести выражение к неопределённости вида

\left[\frac{0}{0}\right]

\frac{\operatorname{tg}3x}{\operatorname{tg} x} = \frac{\frac{1}{\operatorname{ctg}3x}}{\frac{1}{\operatorname{ctg} x}} = \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg}3x}

Так как

\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\operatorname{ctg} x = 0

\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\operatorname{ctg}3x = 0

, применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg}3x} = \lim_{x\to\frac\pi2}\frac{(\operatorname{ctg} x)'}{(\operatorname{ctg}3x)'} = \lim_{x\to\frac\pi2}\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{-\frac{3}{\sin^2 3x}} = \frac{1}{3}\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\sin^2 3x}{\sin^2 x}

Найдём пределы тригонометрических функций в точке

x = \frac{\pi}{2}

\lim_{x\to\frac\pi2}\sin x = \sin\frac{\pi}{2} = 1

\lim_{x\to\frac\pi2}\sin3x = \sin\frac{3\pi}{2} = -1

Следовательно:

\frac{1}{3}\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\sin^2 3x}{\sin^2 x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(-1)^2}{1^2} = \frac{1}{3}

Проверка

В достаточно малой окрестности

\pi/2

величины

\sin x

\sin3x

не обращаются в нуль. Производная нового знаменателя

-3/\sin^23x

ненулевая, обе функции после перехода к котангенсам стремятся к нулю. Полученный предел один и тот же с обеих сторон.