Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1340

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to1-0}\ln x\cdot\ln(1-x)

Ответ:

0

Решение

Идея

При

x \to 1-0

первый множитель стремится к

\ln 1 = 0

, а второй — к

\ln(+0) = -\infty

. Имеем неопределённость вида

[0 \cdot (-\infty)]

.
Перепишем предел в виде дроби, чтобы получить неопределённость

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

\lim_{x\to1-0}\frac{\ln(1-x)}{\frac{1}{\ln x}}

Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to1-0}\frac{(\ln(1-x))'}{\left((\ln x)^{-1}\right)'} = \lim_{x\to1-0}\frac{-\frac{1}{1-x}}{-(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}} = \lim_{x\to1-0}\frac{x\ln^2 x}{1-x}

Так как при

x \to 1-0

множитель

x \to 1

, его предел равен 1, и выражение сводится к:

\lim_{x\to1-0}\frac{\ln^2 x}{1-x}

Получили неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя повторно:

\lim_{x\to1-0}\frac{(\ln^2 x)'}{(1-x)'} = \lim_{x\to1-0}\frac{2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x\to1-0}\frac{-2\ln x}{x}

Вычислим предел подстановкой

x=1

\frac{-2\ln 1}{1} = \frac{-2 \cdot 0}{1} = 0