Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1340

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1340

lim⁡x→1−0ln⁡x⋅ln⁡(1−x)\lim_{x\to1-0}\ln x\cdot\ln(1-x)
Ответ:00

Решение

При x→1−0x \to 1-0 первый множитель стремится к ln⁡1=0\ln 1 = 0, а второй — к −∞-\infty, поскольку 1−x→0+1-x\to0+. Имеем неопределённость вида [0⋅(−∞)][0 \cdot (-\infty)].
Перепишем предел в виде дроби, чтобы получить неопределённость [∞∞]\left[\frac{\infty}{\infty}\right]:
lim⁡x→1−0ln⁡(1−x)1ln⁡x\lim_{x\to1-0}\frac{\ln(1-x)}{\frac{1}{\ln x}}Применим правило Лопиталя:lim⁡x→1−0(ln⁡(1−x))′((ln⁡x)−1)′=lim⁡x→1−0−11−x−(ln⁡x)−2⋅1x=lim⁡x→1−0xln⁡2x1−x\lim_{x\to1-0}\frac{(\ln(1-x))'}{\left((\ln x)^{-1}\right)'} = \lim_{x\to1-0}\frac{-\frac{1}{1-x}}{-(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}} = \lim_{x\to1-0}\frac{x\ln^2 x}{1-x}Так как при x→1−0x \to 1-0 множитель x→1x \to 1, его предел равен 1, и выражение сводится к:lim⁡x→1−0ln⁡2x1−x\lim_{x\to1-0}\frac{\ln^2 x}{1-x}Получили неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя повторно:lim⁡x→1−0(ln⁡2x)′(1−x)′=lim⁡x→1−02ln⁡x⋅1x−1=lim⁡x→1−0−2ln⁡xx\lim_{x\to1-0}\frac{(\ln^2 x)'}{(1-x)'} = \lim_{x\to1-0}\frac{2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x\to1-0}\frac{-2\ln x}{x}Вычислим предел подстановкой x=1x=1:−2ln⁡11=−2⋅01=0\frac{-2\ln 1}{1} = \frac{-2 \cdot 0}{1} = 0

Проверка

Берём 0<x<10<x<1. Производная первого знаменателя равна −1/(xln⁡2x)≠0-1/(x\ln^2x)\ne0, второго — −1≠0-1\ne0. Все функции дифференцируемы; на первом шаге используется вид ∞/∞\infty/\infty, на втором — 0/00/0.
Демидович № 1340 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика