Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1358

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to a}\frac{a^x-x^a}{x-a}, \qquad a>0

Ответ:

a^a(\ln a - 1)

Решение

Подстановка

x=a

приводит к неопределённости вида

\left[\frac{0}{0}\right]

.
Применим правило Лопиталя, дифференцируя числитель и знаменатель по переменной

x

(считая

a

константой):

\lim_{x\to a}\frac{(a^x-x^a)'}{(x-a)'} = \lim_{x\to a}\frac{a^x\ln a - a x^{a-1}}{1}

Теперь неопределённость устранена. Вычислим предел прямой подстановкой

x=a

\frac{a^a\ln a - a \cdot a^{a-1}}{1} = a^a\ln a - a^a = a^a(\ln a - 1)

Проверка

При

x

достаточно близком к

a>0

обе функции дифференцируемы, а производная знаменателя равна

1

и не обращается в нуль. Отношение производных имеет найденный конечный предел, поэтому условия правила Лопиталя выполнены.