Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1361

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+\infty} \left(\frac2\pi\operatorname{arctg} x\right)^x

Ответ:

e^{-\frac{2}{\pi}}

Решение

Идея

При

x \to +\infty

основание

\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg} x \to 1

, а показатель степени

x \to +\infty

. Имеем неопределённость

\left[1^\infty\right]

. Перейдём к экспоненциальному виду:

\lim_{x\to+\infty} \exp\left( x \ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg} x\right) \right)

Рассмотрим предел показателя. Сведём неопределённость

[\infty \cdot 0]

\left[\frac{0}{0}\right]

L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg} x\right)}{\frac{1}{x}}

Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\left( \ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg} x\right) \right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{1}{\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg} x} \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}}

Упростим выражение:

L = \lim_{x\to+\infty} \frac{-x^2}{(1+x^2)\operatorname{arctg} x}

Предел можно представить как произведение двух пределов:

L = \lim_{x\to+\infty} \frac{-x^2}{1+x^2} \cdot \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\operatorname{arctg} x}

Поскольку

\lim_{x\to+\infty} \frac{-x^2}{1+x^2} = -1

\lim_{x\to+\infty} \operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2}

, получаем:

L = (-1) \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}

Возвращаясь к исходному пределу, получаем:

e^{-\frac{2}{\pi}}