Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1362

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+\infty}(\operatorname{th}x)^x

Ответ:

1

Решение

При

x \to +\infty

функция

\operatorname{th}x \to 1

. Имеем неопределённость

\left[1^\infty\right]

.
Перепишем функцию через основание

e

\lim_{x\to+\infty} \exp\left( x \ln(\operatorname{th} x) \right)

Найдём предел показателя, сведя его к неопределённости

\left[\frac{0}{0}\right]

L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(\operatorname{th} x)}{\frac{1}{x}}

Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to+\infty} \frac{(\ln(\operatorname{th} x))'}{\left(\frac{1}{x}\right)'} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{1}{\operatorname{th} x} \cdot \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x} \cdot \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{-x^2}{\operatorname{sh} x \operatorname{ch} x}

Используя формулу гиперболического синуса двойного угла

2\operatorname{sh} x \operatorname{ch} x = \operatorname{sh} 2x

, преобразуем предел:

L = \lim_{x\to+\infty} \frac{-2x^2}{\operatorname{sh} 2x}

Так как экспоненциальный рост гиперболического синуса при

x \to +\infty

происходит значительно быстрее степенной функции

x^2

, предел равен нулю. Это также можно показать двукратным применением правила Лопиталя:

\lim_{x\to+\infty} \frac{-4x}{2\operatorname{ch} 2x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{-4}{4\operatorname{sh} 2x} = 0

Тогда исходный предел равен:

e^0 = 1

Проверка

При

x>0

имеем

\operatorname{th}x>0

. Сначала правило применяется к виду

0/0

с производной знаменателя

-1/x^2\ne0

. В двух последующих отношениях числитель и знаменатель неограниченны по модулю; производные знаменателей

2\operatorname{ch}2x

4\operatorname{sh}2x

положительны. Все применения правила допустимы.