Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1329

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1329

lim⁡x→0ax−asin⁡xx3,a>0\lim_{x\to0}\frac{a^x-a^{\sin x}}{x^3}, \qquad a>0
Ответ:ln⁡a6\dfrac{\ln a}{6}

Решение

Если a=1a=1, числитель тождественно равен нулю, поэтому предел равен
00. Далее считаем a>0a>0 и a≠1a\ne1; только в этом случае используем
эквивалентность au−1∼uln⁡aa^u-1\sim u\ln a.
Вынесем asin⁡xa^{\sin x} за скобки в числителе:lim⁡x→0asin⁡x(ax−sin⁡x−1)x3=lim⁡x→0asin⁡x⋅lim⁡x→0ax−sin⁡x−1x3\lim_{x\to0}\frac{a^{\sin x}(a^{x-\sin x}-1)}{x^3} = \lim_{x\to0} a^{\sin x} \cdot \lim_{x\to0}\frac{a^{x-\sin x}-1}{x^3}Первый предел равен a0=1a^0 = 1. Для вычисления второго воспользуемся эквивалентной бесконечно малой au−1∼uln⁡aa^u - 1 \sim u\ln a при u→0u \to 0 (здесь u=x−sin⁡x→0u = x - \sin x \to 0):lim⁡x→0(x−sin⁡x)ln⁡ax3=ln⁡a⋅lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim_{x\to0}\frac{(x-\sin x)\ln a}{x^3} = \ln a \cdot \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}Получили неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:ln⁡a⋅lim⁡x→0(x−sin⁡x)′(x3)′=ln⁡a⋅lim⁡x→01−cos⁡x3x2\ln a \cdot \lim_{x\to0}\frac{(x-\sin x)'}{(x^3)'} = \ln a \cdot \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}Воспользуемся формулой 1−cos⁡x=2sin⁡2x21-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}:ln⁡a⋅lim⁡x→02sin⁡2x23x2=2ln⁡a3lim⁡x→0(sin⁡x2x)2\ln a \cdot \lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{3x^2} = \frac{2\ln a}{3} \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}\right)^2Так как lim⁡x→0sin⁡x2x=12\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{x} = \frac{1}{2}, получаем:2ln⁡a3⋅(12)2=2ln⁡a3⋅14=ln⁡a6\frac{2\ln a}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{2\ln a}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\ln a}{6}

Проверка

При a≠1a\ne1 отношение (au−1)/(uln⁡a)(a^u-1)/(u\ln a) стремится к 11 при
u→0u\to0. Производная знаменателя x3x^3 равна 3x2>03x^2>0 при x≠0x\ne0,
поэтому правило Лопиталя применено корректно. Случай a=1a=1 разобран до
вычисления.
Демидович № 1329 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика