Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1343

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+0}x^{x^x-1}

Ответ:

1

Решение

Имеем неопределённость вида

\left[0^0\right]

(так как из предыдущей задачи

x^x \to 1

, показатель стремится к

0

, а основание — к

0

). Перепишем функцию через экспоненту:

\lim_{x\to+0}e^{(x^x-1)\ln x}

Рассмотрим предел показателя:

L = \lim_{x\to+0}(x^x-1)\ln x

Заметим, что

x^x - 1 = e^{x\ln x} - 1

. Поскольку

x\ln x \to 0

при

x \to +0

, воспользуемся эквивалентной бесконечно малой

e^t - 1 \sim t

при

t \to 0

. Следовательно,

e^{x\ln x} - 1 \sim x\ln x

.
Подставим эквивалентную величину в предел

L

L = \lim_{x\to+0}(x\ln x)\ln x = \lim_{x\to+0}x\ln^2 x

Сведём предел к виду

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

и дважды применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to+0}\frac{\ln^2 x}{x^{-1}} = \lim_{x\to+0}\frac{(\ln^2 x)'}{(x^{-1})'} = \lim_{x\to+0}\frac{2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{-x^{-2}} = \lim_{x\to+0}\frac{2\ln x}{-x^{-1}}

\lim_{x\to+0}\frac{2\ln x}{-x^{-1}} = \lim_{x\to+0}\frac{(2\ln x)'}{(-x^{-1})'} = \lim_{x\to+0}\frac{\frac{2}{x}}{x^{-2}} = \lim_{x\to+0}2x = 0

Таким образом, показатель степени стремится к

0

. Исходный предел равен:

e^0 = 1

Проверка

При малом

x>0

показатель

x\ln x

ненулевой и стремится к нулю, что позволяет заменить

e^{x\ln x}-1

эквивалентным множителем в произведении. В обоих применениях Лопиталя производные знаменателей

-x^{-2}

x^{-2}

ненулевые, а отношения перед дифференцированием имеют вид

\infty/\infty