Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1320

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1320

lim⁡x→0tg⁡x−xx−sin⁡x\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\sin x}
Ответ:22

Решение

При x→0x \to 0 имеем неопределённость вида [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:
lim⁡x→0tg⁡x−xx−sin⁡x=lim⁡x→0(tg⁡x−x)′(x−sin⁡x)′=lim⁡x→01cos⁡2x−11−cos⁡x\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{tg} x-x)'}{(x-\sin x)'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos^2 x}-1}{1-\cos x}Преобразуем числитель дроби:1cos⁡2x−1=1−cos⁡2xcos⁡2x=(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x}Подставим полученное выражение обратно под знак предела:lim⁡x→0(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)cos⁡2x1−cos⁡x=lim⁡x→01+cos⁡xcos⁡2x\lim_{x\to0}\frac{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\cos^2 x}}{1-\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{1+\cos x}{\cos^2 x}Так как при x→0x \to 0 знаменатель не стремится к нулю, вычислим предел непосредственной подстановкой:lim⁡x→01+cos⁡xcos⁡2x=1+cos⁡0cos⁡20=1+112=2\lim_{x\to0}\frac{1+\cos x}{\cos^2 x} = \frac{1+\cos 0}{\cos^2 0} = \frac{1+1}{1^2} = 2

Проверка

Можно ограничиться 0<∣x∣<π/20<|x|<\pi/2: тангенс дифференцируем, а производная знаменателя 1−cos⁡x=2sin⁡2(x/2)1-\cos x=2\sin^2(x/2) строго положительна. На этот же ненулевой множитель законно выполнено сокращение.