Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1320

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\sin x}

Ответ:

2

Решение

Идея

При

x \to 0

имеем неопределённость вида

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{tg} x-x)'}{(x-\sin x)'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos^2 x}-1}{1-\cos x}

Преобразуем числитель дроби:

\frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x}

Подставим полученное выражение обратно под знак предела:

\lim_{x\to0}\frac{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\cos^2 x}}{1-\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{1+\cos x}{\cos^2 x}

Так как при

x \to 0

знаменатель не стремится к нулю, вычислим предел непосредственной подстановкой:

\lim_{x\to0}\frac{1+\cos x}{\cos^2 x} = \frac{1+\cos 0}{\cos^2 0} = \frac{1+1}{1^2} = 2