Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1326

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1326

lim⁡x→01−cos⁡x2x2sin⁡x2\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x^2}{x^2\sin x^2}
Ответ:12\dfrac{1}{2}

Решение

Для упрощения вычислений сделаем замену переменной t=x2t = x^2. При x→0x \to 0 переменная t→0+t \to 0+. Предел примет вид:
lim⁡t→0+1−cos⁡ttsin⁡t\lim_{t\to0+}\frac{1-\cos t}{t\sin t}Имеем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡t→0+(1−cos⁡t)′(tsin⁡t)′=lim⁡t→0+sin⁡tsin⁡t+tcos⁡t\lim_{t\to0+}\frac{(1-\cos t)'}{(t\sin t)'} = \lim_{t\to0+}\frac{\sin t}{\sin t + t\cos t}Снова неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя ещё раз:lim⁡t→0+(sin⁡t)′(sin⁡t+tcos⁡t)′=lim⁡t→0+cos⁡tcos⁡t+cos⁡t−tsin⁡t=lim⁡t→0+cos⁡t2cos⁡t−tsin⁡t\lim_{t\to0+}\frac{(\sin t)'}{(\sin t + t\cos t)'} = \lim_{t\to0+}\frac{\cos t}{\cos t + \cos t - t\sin t} = \lim_{t\to0+}\frac{\cos t}{2\cos t - t\sin t}Теперь при t→0+t \to 0+ знаменатель не обращается в нуль. Подставляем t=0t = 0:cos⁡02cos⁡0−0⋅sin⁡0=12⋅1−0=12\frac{\cos 0}{2\cos 0 - 0 \cdot \sin 0} = \frac{1}{2 \cdot 1 - 0} = \frac{1}{2}

Проверка

При малом t>0t>0 производная первого знаменателя sin⁡t+tcos⁡t\sin t+t\cos t положительна. На втором шаге производная знаменателя 2cos⁡t−tsin⁡t2\cos t-t\sin t стремится к 22, поэтому тоже ненулевая в нужной окрестности. Функции дифференцируемы; оба применения относятся к виду 0/00/0.
Демидович № 1326 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика