Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1344

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1344

lim⁡x→+0(xxx−1)\lim_{x\to+0}\left(x^{x^x}-1\right)

Опирается на задачу 1342

Ответ:−1-1

Решение

Идея

Перепишем степенно-показательную функцию xxxx^{x^x} через экспоненту:

Проверка

xxx=exxln⁡xx^{x^x} = e^{x^x\ln x}Определим предел показателя при x→+0x \to +0. Из задачи 1342 известно, что lim⁡x→+0xx=1\lim\limits_{x\to+0}x^x = 1. Предел логарифма: lim⁡x→+0ln⁡x=−∞\lim\limits_{x\to+0}\ln x = -\infty.
Следовательно, предел их произведения равен:lim⁡x→+0xxln⁡x=1⋅(−∞)=−∞\lim_{x\to+0}x^x\ln x = 1 \cdot (-\infty) = -\inftyТогда предел самой показательной функции:lim⁡x→+0exxln⁡x=e−∞=0\lim_{x\to+0}e^{x^x\ln x} = e^{-\infty} = 0Окончательно находим искомый предел:lim⁡x→+0(xxx−1)=0−1=−1\lim_{x\to+0}\left(x^{x^x}-1\right) = 0 - 1 = -1
Демидович № 1344 — решение и ответ