Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1344

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+0}\left(x^{x^x}-1\right)

Опирается на

Ответ:

-1

Решение

Перепишем степенно-показательную функцию

x^{x^x}

через экспоненту:

x^{x^x} = e^{x^x\ln x}

Определим предел показателя при

x \to +0

. Из задачи известно, что

\lim\limits_{x\to+0}x^x = 1

. Предел логарифма:

\lim\limits_{x\to+0}\ln x = -\infty

.
Следовательно, предел их произведения равен:

\lim_{x\to+0}x^x\ln x = 1 \cdot (-\infty) = -\infty

Тогда предел самой показательной функции:

\lim_{x\to+0}e^{x^x\ln x} = 0

Окончательно находим искомый предел:

\lim_{x\to+0}\left(x^{x^x}-1\right) = 0 - 1 = -1