Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9

Демидович § 9. Раскрытие неопределённостей

Условия, ответы и подробные решения задач 1318–1375

Задачи 1318–1375

58 из 58 с разбором

Разности и смешанные неопределённости

1354–1370

Задача 1368

Найти пределы:а) lim⁡x→0(1+ex2)cth⁡x;б) lim⁡x→+∞xln⁡x(ln⁡x)x.\text{а) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\operatorname{cth} x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}.
Определить значение выражения:

Задача 1369

lim⁡x→+∞[x3+x2+x+13−x2+x+1 ln⁡(ex+x)x]\lim_{x\to+\infty}\left[
\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}
-\sqrt{x^2+x+1}\,\frac{\ln(e^x+x)}{x}
\right]

Задача 1370

lim⁡x→+∞[(x+a)1+1x−x1+1x+a]\lim_{x\to+\infty}\left[(x+a)^{1+\frac1x}-x^{1+\frac1{x+a}}\right]

Применения правила Лопиталя

1371–1375

Задача 1371

Найтиlim⁡x→0yx,\lim_{x\to0}\frac{y}{x},если кривая y=f(x)y=f(x) входит при x→0x\to0 в начало координат (0,0)(0,0)(lim⁡x→0f(x)=0)\left(\lim_{x\to0}f(x)=0\right)под углом α\alpha.

Задача 1372

Доказать, чтоlim⁡x→+0xf(x)=1,\lim_{x\to+0}x^{f(x)}=1,если непрерывная кривая y=f(x)y=f(x) входит при x→+0x\to+0 в начало координатlim⁡x→+0f(x)=0\lim_{x\to+0}f(x)=0и при 0<x<ε0<x<\varepsilon целиком остаётся внутри острого угла, образованного прямымиy=−kxиy=kx(k≠∞).y=-kx\quad\text{и}\quad y=kx\qquad(k\ne\infty).

Задача 1373

1. Доказать, что если для функции f(x)f(x) существует вторая производная f′′(x)f''(x), тоf′′(x)=lim⁡h→0f(x+h)+f(x−h)−2f(x)h2.f''(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}.2. Исследовать на дифференцируемость в точке x=0x=0 функциюf(x)={1x−1ex−1,x≠0,12,x=0.f(x)=
\begin{cases}
\dfrac1x-\dfrac1{e^x-1},&x\ne0,\\[1mm]
\dfrac12,&x=0.
\end{cases}3. Найти асимптоту кривойy=x1+x(1+x)x(x>0).y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}\qquad(x>0).

Задача 1374

Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующим примерам:а) lim⁡x→0x2sin⁡1xsin⁡x;б) lim⁡x→∞x−sin⁡xx+sin⁡x;\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x+\sin x};в) lim⁡x→+∞e−2x(cos⁡x+2sin⁡x)+e−x2sin⁡2xe−x(cos⁡x+sin⁡x);\text{в) }\lim_{x\to+\infty}
\frac{e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+e^{-x^2}\sin^2x}
{e^{-x}(\cos x+\sin x)};г) lim⁡x→∞1+x+sin⁡xcos⁡x(x+sin⁡xcos⁡x)esin⁡x.\text{г) }\lim_{x\to\infty}
\frac{1+x+\sin x\cos x}{(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}}.

Задача 1375

Найти предел отношения площади кругового сегмента, имеющего хорду bb и стрелку hh, к площади равнобедренного треугольника, вписанного в этот сегмент, если дуга сегмента при неизменном радиусе RR стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом, вывести приближённую формулу для площади сегмента:S≈23bh.S\approx\frac23bh.

Задачи 51–58 из 58