Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1353

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0} \left(\frac{a^x-x\ln a}{b^x-x\ln b}\right)^{\frac1{x^2}}

Ответ:

e^{\frac{\ln^2 a - \ln^2 b}{2}}

Решение

Идея

При

x \to 0

основание стремится к

\frac{a^0-0}{b^0-0} = 1

, а показатель степени — к

\infty

. Возникает неопределённость

\left[1^\infty\right]

. Перейдём к экспоненте:

\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x^2} \ln\left(\frac{a^x-x\ln a}{b^x-x\ln b}\right) \right)

Рассмотрим предел показателя:

L = \lim_{x\to0} \frac{\ln(a^x-x\ln a) - \ln(b^x-x\ln b)}{x^2}

Поскольку при

x \to 0

аргументы логарифмов стремятся к

1

, воспользуемся эквивалентной бесконечно малой

\ln u \sim u - 1

при

u \to 1

. Для дроби

\ln\frac{f(x)}{g(x)} \sim \frac{f(x)}{g(x)} - 1 = \frac{f(x)-g(x)}{g(x)}

. Так как

g(x) \to 1

, знаменателем

g(x)

можно пренебречь:

L = \lim_{x\to0} \frac{a^x - x\ln a - (b^x - x\ln b)}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{a^x - b^x - x(\ln a - \ln b)}{x^2}

Получили неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0} \frac{(a^x - b^x - x(\ln a - \ln b))'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{a^x\ln a - b^x\ln b - \ln a + \ln b}{2x}

Вновь имеем

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя второй раз:

\lim_{x\to0} \frac{(a^x\ln a - b^x\ln b - \ln a + \ln b)'}{(2x)'} = \lim_{x\to0} \frac{a^x\ln^2 a - b^x\ln^2 b}{2}

Теперь неопределённость устранена, подставляем

x = 0

\frac{a^0\ln^2 a - b^0\ln^2 b}{2} = \frac{\ln^2 a - \ln^2 b}{2}

Искомый предел равен экспоненте от этого выражения:

e^{\frac{\ln^2 a - \ln^2 b}{2}}