Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1353

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1353

lim⁡x→0(ax−xln⁡abx−xln⁡b)1x2\lim_{x\to0} \left(\frac{a^x-x\ln a}{b^x-x\ln b}\right)^{\frac1{x^2}}
Ответ:eln⁡2a−ln⁡2b2e^{\frac{\ln^2 a - \ln^2 b}{2}} при a>0a>0 и b>0b>0.

Решение

Для вещественных степеней и логарифмов предполагаем a>0a>0 и b>0b>0.
Тогда функции ax−xln⁡aa^x-x\ln a и bx−xln⁡bb^x-x\ln b непрерывны и равны 11 при
x=0x=0, поэтому положительны в некоторой окрестности нуля.

При x→0x\to0 основание стремится к 11, а показатель 1/x21/x^2 --- к
+∞+\infty. Возникает неопределённость [1∞][1^\infty]. Перейдём к
экспоненте:
lim⁡x→0exp⁡(1x2ln⁡(ax−xln⁡abx−xln⁡b))\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x^2} \ln\left(\frac{a^x-x\ln a}{b^x-x\ln b}\right) \right)Рассмотрим предел показателя:L=lim⁡x→0ln⁡(ax−xln⁡a)−ln⁡(bx−xln⁡b)x2L = \lim_{x\to0} \frac{\ln(a^x-x\ln a) - \ln(b^x-x\ln b)}{x^2}Обозначим f=ax−xln⁡af=a^x-x\ln a, g=bx−xln⁡bg=b^x-x\ln b и u=f/g−1=(f−g)/gu=f/g-1=(f-g)/g. Около нуля f,g>0f,g>0 и g→1g\to1, поэтому u→0u\to0. Введём непрерывную в нуле функциюE(u)={ln⁡(1+u)/u,u≠0,1,u=0.E(u)=\begin{cases}\ln(1+u)/u,&u\ne0,\\1,&u=0.\end{cases}Её непрерывность следует из замечательного предела логарифма. Точное равенствоln⁡(f/g)x2=E(u)f−ggx2\frac{\ln(f/g)}{x^2}=E(u)\frac{f-g}{g x^2}показывает, что достаточно вычислить предел (f−g)/x2(f-g)/x^2: множитель E(u)/gE(u)/g стремится к 11. Эта запись верна и в точках f=gf=g, включая случай a=ba=b.L=lim⁡x→0ax−bx−x(ln⁡a−ln⁡b)x2.L=\lim_{x\to0}\frac{a^x-b^x-x(\ln a-\ln b)}{x^2}.Получили неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(ax−bx−x(ln⁡a−ln⁡b))′(x2)′=lim⁡x→0axln⁡a−bxln⁡b−ln⁡a+ln⁡b2x\lim_{x\to0} \frac{(a^x - b^x - x(\ln a - \ln b))'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{a^x\ln a - b^x\ln b - \ln a + \ln b}{2x}Вновь имеем [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя второй раз:lim⁡x→0(axln⁡a−bxln⁡b−ln⁡a+ln⁡b)′(2x)′=lim⁡x→0axln⁡2a−bxln⁡2b2\lim_{x\to0} \frac{(a^x\ln a - b^x\ln b - \ln a + \ln b)'}{(2x)'} = \lim_{x\to0} \frac{a^x\ln^2 a - b^x\ln^2 b}{2}Теперь неопределённость устранена, подставляем x=0x = 0:a0ln⁡2a−b0ln⁡2b2=ln⁡2a−ln⁡2b2\frac{a^0\ln^2 a - b^0\ln^2 b}{2} = \frac{\ln^2 a - \ln^2 b}{2}Искомый предел равен экспоненте от этого выражения:eln⁡2a−ln⁡2b2e^{\frac{\ln^2 a - \ln^2 b}{2}}

Проверка

Для вещественных логарифмов требуется a>0a>0, b>0b>0. Функции ax−xln⁡aa^x-x\ln a и bx−xln⁡bb^x-x\ln b положительны около нуля по непрерывности и значению 11 в нуле. В двух применениях Лопиталя производные знаменателей равны 2x2x и 22, ненулевым в нужных областях. Обе неопределённости имеют вид 0/00/0.
Демидович № 1353 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика