Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1323

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1323

lim⁡x→0xctg⁡x−1x2\lim_{x\to0}\frac{x\operatorname{ctg} x-1}{x^2}
Ответ:−13-\dfrac{1}{3}

Решение

Перепишем котангенс через синус и косинус:lim⁡x→0xcos⁡xsin⁡x−1x2=lim⁡x→0xcos⁡x−sin⁡xx2sin⁡x\lim_{x\to0}\frac{x \frac{\cos x}{\sin x} - 1}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{x\cos x - \sin x}{x^2\sin x}При x→0x \to 0 получаем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Чтобы упростить знаменатель перед применением правила Лопиталя, воспользуемся первым замечательным пределом lim⁡x→0xsin⁡x=1\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{\sin x} = 1. Умножим и разделим выражение на xx:lim⁡x→0(xcos⁡x−sin⁡xx3⋅xsin⁡x)=lim⁡x→0xcos⁡x−sin⁡xx3⋅1=lim⁡x→0xcos⁡x−sin⁡xx3\lim_{x\to0}\left( \frac{x\cos x - \sin x}{x^3} \cdot \frac{x}{\sin x} \right) = \lim_{x\to0}\frac{x\cos x - \sin x}{x^3} \cdot 1 = \lim_{x\to0}\frac{x\cos x - \sin x}{x^3}Теперь применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(xcos⁡x−sin⁡x)′(x3)′=lim⁡x→0cos⁡x−xsin⁡x−cos⁡x3x2=lim⁡x→0−xsin⁡x3x2\lim_{x\to0}\frac{(x\cos x - \sin x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0}\frac{\cos x - x\sin x - \cos x}{3x^2} = \lim_{x\to0}\frac{-x\sin x}{3x^2}Сократим на xx:lim⁡x→0−sin⁡x3x=−13lim⁡x→0sin⁡xx=−13⋅1=−13\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{3x} = -\frac{1}{3}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}

Проверка

В достаточно малой проколотой окрестности нуля sin⁡x≠0\sin x\ne0, а производная знаменателя x3x^3 равна 3x2>03x^2>0. Поэтому преобразования и правило Лопиталя законны.
Демидович № 1323 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика