Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1359

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1359

lim⁡x→0(1+x)1x−ex\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\frac1x}-e}{x}
Ответ:−e2-\dfrac{e}{2}

Решение

Доопределим f(x)=(1+x)1/xf(x)=(1+x)^{1/x} при x=0x=0 значением f(0)=ef(0)=e; непрерывность следует из замечательного предела. Искомое разностное отношение имеет вид 0/00/0. Сначала найдём предел f′(x)f'(x) при x→0x\to0; если он существует, правило Лопиталя с производной знаменателя 11 даст искомый предел и одновременно f′(0)f'(0).
lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0f′(x)\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to0} f'(x)Найдём производную функции f(x)f(x) с помощью логарифмического дифференцирования. Пусть y=(1+x)1xy = (1+x)^{\frac{1}{x}}, тогда ln⁡y=ln⁡(1+x)x\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}.
Дифференцируем обе части по xx:y′y=x1+x−ln⁡(1+x)x2  ⟹  y′=(1+x)1x⋅x−(1+x)ln⁡(1+x)x2(1+x)\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} \implies y' = (1+x)^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}Найдём предел полученной производной:lim⁡x→0y′=lim⁡x→0(1+x)1x⋅lim⁡x→0x−(1+x)ln⁡(1+x)x2(1+x)\lim_{x\to0} y' = \lim_{x\to0} (1+x)^{\frac{1}{x}} \cdot \lim_{x\to0} \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}Первый множитель стремится к ee. Второй предел представляет собой неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим к нему правило Лопиталя:lim⁡x→0(x−(1+x)ln⁡(1+x))′(x2+x3)′=lim⁡x→01−(ln⁡(1+x)+1)2x+3x2=lim⁡x→0−ln⁡(1+x)2x+3x2\lim_{x\to0} \frac{(x - (1+x)\ln(1+x))'}{(x^2+x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{1 - \left(\ln(1+x) + 1\right)}{2x + 3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{-\ln(1+x)}{2x + 3x^2}Снова имеем [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя ещё раз:lim⁡x→0(−ln⁡(1+x))′(2x+3x2)′=lim⁡x→0−11+x2+6x\lim_{x\to0} \frac{(-\ln(1+x))'}{(2x + 3x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{-\frac{1}{1+x}}{2 + 6x}Подставляем x=0x=0:−112+0=−12\frac{-\frac{1}{1}}{2 + 0} = -\frac{1}{2}Перемножая пределы, получаем итоговый результат:e⋅(−12)=−e2e \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{e}{2}

Проверка

Можно ограничиться 0<∣x∣<1/40<|x|<1/4. Основание 1+x1+x положительно. При первом применении правила производная знаменателя равна 11; в последующих вычислениях она равна 2x+3x2=x(2+3x)≠02x+3x^2=x(2+3x)\ne0 и затем 2+6x>02+6x>0. В обоих вспомогательных отношениях перед дифференцированием числитель и знаменатель стремятся к нулю.
Демидович № 1359 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика