Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1359

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\frac1x}-e}{x}

Ответ:

-\dfrac{e}{2}

Решение

Идея

При

x\to0

числитель стремится к

e - e = 0

, и мы имеем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

.
По правилу Лопиталя искомый предел равен значению производной функции

f(x) = (1+x)^{\frac{1}{x}}

в точке

x=0

(точнее, пределу производной при

x \to 0

\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to0} f'(x)

Найдём производную функции

f(x)

с помощью логарифмического дифференцирования. Пусть

y = (1+x)^{\frac{1}{x}}

, тогда

\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}

.
Дифференцируем обе части по

x

\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} \implies y' = (1+x)^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}

Найдём предел полученной производной:

\lim_{x\to0} y' = \lim_{x\to0} (1+x)^{\frac{1}{x}} \cdot \lim_{x\to0} \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}

Первый множитель стремится к

e

. Второй предел представляет собой неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим к нему правило Лопиталя:

\lim_{x\to0} \frac{(x - (1+x)\ln(1+x))'}{(x^2+x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{1 - \left(\ln(1+x) + 1\right)}{2x + 3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{-\ln(1+x)}{2x + 3x^2}

Снова имеем

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя ещё раз:

\lim_{x\to0} \frac{(-\ln(1+x))'}{(2x + 3x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{-\frac{1}{1+x}}{2 + 6x}

Подставляем

x=0

\frac{-\frac{1}{1}}{2 + 0} = -\frac{1}{2}

Перемножая пределы, получаем итоговый результат:

e \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{e}{2}