Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1345

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+0}x^{\frac{k}{1+\ln x}}

Ответ:

e^k

Решение

Представим выражение в показательном виде:

\lim_{x\to+0}\exp\left( \frac{k}{1+\ln x} \cdot \ln x \right) = \lim_{x\to+0}\exp\left( \frac{k\ln x}{1+\ln x} \right)

Найдём предел показателя экспоненты при

x \to +0

. Разделим числитель и знаменатель дроби на

\ln x

(так как

\ln x \ne 0

вблизи нуля):

\lim_{x\to+0}\frac{k\ln x}{1+\ln x} = \lim_{x\to+0}\frac{k}{\frac{1}{\ln x} + 1}

Поскольку при

x \to +0

логарифм

\ln x \to -\infty

, дробь

\frac{1}{\ln x} \to 0

. Подставляем это значение:

\frac{k}{0 + 1} = k

Возвращаясь к исходному пределу, получаем:

e^k

Проверка

Можно рассматривать

0<x<e^{-1}

: тогда основание положительно,

\ln x\ne0

1+\ln x\ne0

. Найденный предел показателя конечен для любого постоянного вещественного

k

; непрерывность экспоненты даёт ответ.