Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1319

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1319

lim⁡x→0ch⁡x−cos⁡xx2\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}x-\cos x}{x^2}
Ответ:11

Решение

Подстановка x=0x = 0 даёт ch⁡0−cos⁡0=1−1=0\operatorname{ch}0 - \cos 0 = 1 - 1 = 0 в числителе и 00 в знаменателе, что представляет собой неопределённость вида [00]\left[\frac{0}{0}\right].
Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0ch⁡x−cos⁡xx2=lim⁡x→0(ch⁡x−cos⁡x)′(x2)′=lim⁡x→0sh⁡x−(−sin⁡x)2x=lim⁡x→0sh⁡x+sin⁡x2x\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}x-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{ch}x-\cos x)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}x - (-\sin x)}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}x+\sin x}{2x}Полученное выражение снова представляет собой неопределённость вида [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя повторно:lim⁡x→0sh⁡x+sin⁡x2x=lim⁡x→0(sh⁡x+sin⁡x)′(2x)′=lim⁡x→0ch⁡x+cos⁡x2\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}x+\sin x}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{(\operatorname{sh}x+\sin x)'}{(2x)'} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}x+\cos x}{2}Вычислим значение предела при x→0x \to 0:lim⁡x→0ch⁡x+cos⁡x2=ch⁡0+cos⁡02=1+12=1\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}x+\cos x}{2} = \frac{\operatorname{ch}0 + \cos 0}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1

Проверка

Функции дифференцируемы около нуля. На первом шаге производная знаменателя равна 2x≠02x\ne0 при x≠0x\ne0, на втором — 2≠02\ne0. Обе промежуточные неопределённости имеют вид 0/00/0, а последний предел существует; поэтому оба применения правила законны.