Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1328

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac1{x\sqrt{x}}\left(\sqrt a\,\operatorname{arctg}\sqrt{\frac xa}-\sqrt b\,\operatorname{arctg}\sqrt{\frac xb}\right)

Ответ:

\dfrac{a-b}{3ab}

Решение

Идея

Поскольку в выражении присутствует

\sqrt{x}

, предел рассматривается при

x \to 0+

. Сделаем замену переменной

t = \sqrt{x}

. При

x \to 0+

новая переменная

t \to 0+

. Предел примет вид:

\lim_{t\to0}\frac{\sqrt{a}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{a}} - \sqrt{b}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{b}}}{t^3}

Подстановка

t=0

даёт неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{t\to0}\frac{\left(\sqrt{a}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{a}} - \sqrt{b}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{b}}\right)'}{(t^3)'} = \lim_{t\to0}\frac{\sqrt{a} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{t}{\sqrt{a}}\right)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} - \sqrt{b} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{t}{\sqrt{b}}\right)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{b}}}{3t^2}

Упростим числитель:

\lim_{t\to0}\frac{\frac{1}{1 + \frac{t^2}{a}} - \frac{1}{1 + \frac{t^2}{b}}}{3t^2} = \lim_{t\to0}\frac{\frac{a}{a+t^2} - \frac{b}{b+t^2}}{3t^2} = \lim_{t\to0}\frac{a(b+t^2) - b(a+t^2)}{3t^2(a+t^2)(b+t^2)}

Раскроем скобки в числителе:

a(b+t^2) - b(a+t^2) = ab + at^2 - ab - bt^2 = t^2(a-b)

Подставим это обратно под знак предела:

\lim_{t\to0}\frac{t^2(a-b)}{3t^2(a+t^2)(b+t^2)} = \lim_{t\to0}\frac{a-b}{3(a+t^2)(b+t^2)}

Теперь неопределённость устранена. Вычислим предел подстановкой

t=0

\frac{a-b}{3(a+0)(b+0)} = \frac{a-b}{3ab}