Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1328

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1328

lim⁡x→01xx(a arctg⁡xa−b arctg⁡xb),a>0,b>0.\lim_{x\to0}\frac1{x\sqrt{x}}
\left(
\sqrt a\,\operatorname{arctg}\sqrt{\frac xa}
-\sqrt b\,\operatorname{arctg}\sqrt{\frac xb}
\right),\qquad a>0,\quad b>0.
Ответ:a−b3ab\dfrac{a-b}{3ab} при a>0a>0, b>0b>0.

Решение

Поскольку в выражении присутствует x\sqrt{x}, предел рассматривается при x→0+x \to 0+. Сделаем замену переменной t=xt = \sqrt{x}. При x→0+x \to 0+ новая переменная t→0+t \to 0+. Предел примет вид:
lim⁡t→0+aarctg⁡ta−barctg⁡tbt3\lim_{t\to0+}\frac{\sqrt{a}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{a}} - \sqrt{b}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{b}}}{t^3}Подстановка t=0t=0 даёт неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡t→0+(aarctg⁡ta−barctg⁡tb)′(t3)′=lim⁡t→0+a⋅11+(ta)2⋅1a−b⋅11+(tb)2⋅1b3t2\lim_{t\to0+}\frac{\left(\sqrt{a}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{a}} - \sqrt{b}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{b}}\right)'}{(t^3)'} = \lim_{t\to0+}\frac{\sqrt{a} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{t}{\sqrt{a}}\right)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} - \sqrt{b} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{t}{\sqrt{b}}\right)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{b}}}{3t^2}Упростим числитель:lim⁡t→0+11+t2a−11+t2b3t2=lim⁡t→0+aa+t2−bb+t23t2=lim⁡t→0+a(b+t2)−b(a+t2)3t2(a+t2)(b+t2)\lim_{t\to0+}\frac{\frac{1}{1 + \frac{t^2}{a}} - \frac{1}{1 + \frac{t^2}{b}}}{3t^2} = \lim_{t\to0+}\frac{\frac{a}{a+t^2} - \frac{b}{b+t^2}}{3t^2} = \lim_{t\to0+}\frac{a(b+t^2) - b(a+t^2)}{3t^2(a+t^2)(b+t^2)}Раскроем скобки в числителе:a(b+t2)−b(a+t2)=ab+at2−ab−bt2=t2(a−b)a(b+t^2) - b(a+t^2) = ab + at^2 - ab - bt^2 = t^2(a-b)Подставим это обратно под знак предела:lim⁡t→0+t2(a−b)3t2(a+t2)(b+t2)=lim⁡t→0+a−b3(a+t2)(b+t2)\lim_{t\to0+}\frac{t^2(a-b)}{3t^2(a+t^2)(b+t^2)} = \lim_{t\to0+}\frac{a-b}{3(a+t^2)(b+t^2)}Теперь неопределённость устранена. Вычислим предел подстановкой t=0t=0:a−b3(a+0)(b+0)=a−b3ab\frac{a-b}{3(a+0)(b+0)} = \frac{a-b}{3ab}

Проверка

Требуется a>0a>0, b>0b>0: корни a,b\sqrt a,\sqrt b должны быть вещественными, а деление на параметры — определённым. При t>0t>0 знаменатель t3t^3 имеет ненулевую производную 3t23t^2. При a=ba=b числитель тождественно нулевой; ответ также даёт 00.
Демидович № 1328 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика