Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1336

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1336

lim⁡x→+∞ln⁡xxε,ε>0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\varepsilon}, \qquad \varepsilon>0
Ответ:00

Решение

При x→+∞x \to +\infty и ε>0\varepsilon > 0 числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Имеем неопределённость [∞∞]\left[\frac{\infty}{\infty}\right].
Применим правило Лопиталя:
lim⁡x→+∞(ln⁡x)′(xε)′=lim⁡x→+∞1xεxε−1=lim⁡x→+∞1εxε\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)'}{(x^\varepsilon)'} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\varepsilon x^{\varepsilon-1}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\varepsilon x^\varepsilon}Поскольку ε>0\varepsilon > 0, степенная функция xε→+∞x^\varepsilon \to +\infty при x→+∞x \to +\infty. Следовательно:lim⁡x→+∞1εxε=0\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\varepsilon x^\varepsilon} = 0

Проверка

При x>0x>0 обе функции дифференцируемы, а производная знаменателя εxε−1>0\varepsilon x^{\varepsilon-1}>0 в силу ε>0\varepsilon>0. Оба исходных выражения стремятся к +∞+\infty, предел отношения производных существует.
Демидович № 1336 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика