Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1355

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1355

lim⁡x→1(1ln⁡x−1x−1)\lim_{x\to1}\left(\frac1{\ln x}-\frac1{x-1}\right)
Ответ:12\dfrac{1}{2}

Решение

Имеем неопределённость [∞−∞][\infty - \infty]. Сделаем замену переменной t=x−1t = x - 1. При x→1x \to 1 переменная t→0t \to 0. Выражение примет вид:
lim⁡t→0(1ln⁡(1+t)−1t)=lim⁡t→0t−ln⁡(1+t)tln⁡(1+t)\lim_{t\to0} \left(\frac{1}{\ln(1+t)} - \frac{1}{t}\right) = \lim_{t\to0} \frac{t - \ln(1+t)}{t\ln(1+t)}Знаменатель можно заменить эквивалентной бесконечно малой tln⁡(1+t)∼t⋅t=t2t \ln(1+t) \sim t \cdot t = t^2:lim⁡t→0t−ln⁡(1+t)t2\lim_{t\to0} \frac{t - \ln(1+t)}{t^2}Возникла неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡t→0(t−ln⁡(1+t))′(t2)′=lim⁡t→01−11+t2t\lim_{t\to0} \frac{(t - \ln(1+t))'}{(t^2)'} = \lim_{t\to0} \frac{1 - \frac{1}{1+t}}{2t}Приведём числитель к общему знаменателю:lim⁡t→01+t−11+t2t=lim⁡t→0t2t(1+t)\lim_{t\to0} \frac{\frac{1+t-1}{1+t}}{2t} = \lim_{t\to0} \frac{t}{2t(1+t)}Сократим на t≠0t \ne 0:lim⁡t→012(1+t)=12(1+0)=12\lim_{t\to0} \frac{1}{2(1+t)} = \frac{1}{2(1+0)} = \frac{1}{2}

Проверка

Можно взять ∣t∣<1/2|t|<1/2, t≠0t\ne0: тогда 1+t>01+t>0 и ln⁡(1+t)≠0\ln(1+t)\ne0. Замена знаменателя следует из ln⁡(1+t)/t→1\ln(1+t)/t\to1. Производная знаменателя t2t^2 равна 2t≠02t\ne0.
Демидович № 1355 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика