Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1355

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to1}\left(\frac1{\ln x}-\frac1{x-1}\right)

Ответ:

\dfrac{1}{2}

Решение

Идея

Имеем неопределённость

[\infty - \infty]

. Сделаем замену переменной

t = x - 1

. При

x \to 1

переменная

t \to 0

. Выражение примет вид:

\lim_{t\to0} \left(\frac{1}{\ln(1+t)} - \frac{1}{t}\right) = \lim_{t\to0} \frac{t - \ln(1+t)}{t\ln(1+t)}

Знаменатель можно заменить эквивалентной бесконечно малой

t \ln(1+t) \sim t \cdot t = t^2

\lim_{t\to0} \frac{t - \ln(1+t)}{t^2}

Возникла неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{t\to0} \frac{(t - \ln(1+t))'}{(t^2)'} = \lim_{t\to0} \frac{1 - \frac{1}{1+t}}{2t}

Приведём числитель к общему знаменателю:

\lim_{t\to0} \frac{\frac{1+t-1}{1+t}}{2t} = \lim_{t\to0} \frac{t}{2t(1+t)}

Сократим на

t \ne 0

\lim_{t\to0} \frac{1}{2(1+t)} = \frac{1}{2(1+0)} = \frac{1}{2}