Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1333

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{\cos(\sin x)-\cos x}{x^4}

Ответ:

\dfrac{1}{6}

Решение

При

x \to 0

имеем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности косинусов

\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

\lim_{x\to0}\frac{-2\sin\frac{\sin x+x}{2}\sin\frac{\sin x-x}{2}}{x^4}

Поскольку при

u \to 0

справедливо эквивалентное соотношение

\sin u \sim u

, мы можем заменить синусы на их аргументы, так как они находятся в произведении:

\lim_{x\to0}\frac{-2 \cdot \frac{\sin x+x}{2} \cdot \frac{\sin x-x}{2}}{x^4} = \lim_{x\to0}\frac{-2(\sin x+x)(\sin x-x)}{4x^4} = \lim_{x\to0}\frac{(\sin x+x)(x-\sin x)}{2x^4}

Разобьём предел на произведение двух пределов:

\lim_{x\to0} \left( \frac{\sin x+x}{2x} \cdot \frac{x-\sin x}{x^3} \right) = \lim_{x\to0}\frac{\sin x+x}{2x} \cdot \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}

Вычислим первый предел:

\lim_{x\to0}\frac{\sin x+x}{2x} = \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{2x} + \frac{x}{2x}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

Для второго предела применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} = \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{3x^2} = \frac{2}{3}\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}\right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}

Перемножив результаты обоих пределов, получим итоговый ответ:

1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

Проверка

Вспомогательные аргументы синусов стремятся к нулю, поэтому их отношения к аргументам стремятся к

1

. В применении Лопиталя производная знаменателя

3x^2

ненулевая при

x\ne0

. Все произведения пределов используются после вычисления конечных пределов множителей.