Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1365

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1365

lim⁡x→0(2πarccos⁡x)1x\lim_{x\to0}
\left(\frac2\pi\arccos x\right)^{\frac1x}
Ответ:e−2/πe^{-2/\pi}

Решение

При x→0x\to0 значение arccos⁡0=π2\arccos 0 = \frac{\pi}{2}, поэтому основание стремится к 11. Модуль показателя 1/x1/x стремится к бесконечности. Это неопределённость вида [1∞]\left[1^\infty\right].
Запишем предел через экспоненту:
lim⁡x→0exp⁡(1xln⁡(2πarccos⁡x))\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x} \ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos x\right) \right)Найдём предел показателя, имеющий вид [00]\left[\frac{0}{0}\right]:L=lim⁡x→0ln⁡(2πarccos⁡x)xL = \lim_{x\to0} \frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos x\right)}{x}Применим правило Лопиталя:L=lim⁡x→0(ln⁡(2πarccos⁡x))′(x)′=lim⁡x→012πarccos⁡x⋅2π⋅−11−x21L = \lim_{x\to0} \frac{\left( \ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos x\right) \right)'}{(x)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\frac{2}{\pi}\arccos x} \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}{1}Упростим выражение:L=lim⁡x→0−1arccos⁡x⋅1−x2L = \lim_{x\to0} \frac{-1}{\arccos x \cdot \sqrt{1-x^2}}Неопределённость устранена. Подставляем x=0x = 0:−1arccos⁡0⋅1−0=−1π2⋅1=−2π\frac{-1}{\arccos 0 \cdot \sqrt{1-0}} = \frac{-1}{\frac{\pi}{2} \cdot 1} = -\frac{2}{\pi}Возвращаясь к экспоненте, получаем итоговый предел:e−2/πe^{-2/\pi}

Проверка

При ∣x∣<1|x|<1 функция arccos⁡x\arccos x положительна и дифференцируема. В отношении логарифма к xx обе части стремятся к нулю, а производная знаменателя равна 11.
Демидович № 1365 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика