Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1365

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\left(\frac2\pi\arccos x\right)^{\frac1x}

Ответ:

e^{-2/\pi}

Решение

Идея

При

x\to0

значение

\arccos 0 = \frac{\pi}{2}

, поэтому основание стремится к

1

. Показатель

\frac{1}{x}

стремится к бесконечности. Это неопределённость вида

\left[1^\infty\right]

.
Запишем предел через экспоненту:

\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x} \ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos x\right) \right)

Найдём предел показателя, имеющий вид

\left[\frac{0}{0}\right]

L = \lim_{x\to0} \frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos x\right)}{x}

Применим правило Лопиталя:

L = \lim_{x\to0} \frac{\left( \ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos x\right) \right)'}{(x)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\frac{2}{\pi}\arccos x} \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}{1}

Упростим выражение:

L = \lim_{x\to0} \frac{-1}{\arccos x \cdot \sqrt{1-x^2}}

Неопределённость устранена. Подставляем

x = 0

\frac{-1}{\arccos 0 \cdot \sqrt{1-0}} = \frac{-1}{\frac{\pi}{2} \cdot 1} = -\frac{2}{\pi}

Возвращаясь к экспоненте, получаем итоговый предел:

e^{-2/\pi}