Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1337

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1337

lim⁡x→+∞xneax,a>0, n>0\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^{ax}}, \qquad a>0,\ n>0
Ответ:00

Решение

Идея

При x→+∞x \to +\infty имеем неопределённость [∞∞]\left[\frac{\infty}{\infty}\right].
Представим выражение в виде:
lim⁡x→+∞(xeanx)n=(lim⁡x→+∞xeanx)n\lim_{x\to+\infty}\left( \frac{x}{e^{\frac{a}{n}x}} \right)^n = \left( \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{\frac{a}{n}x}} \right)^nК пределу в скобках применим правило Лопиталя:lim⁡x→+∞(x)′(eanx)′=lim⁡x→+∞1aneanx\lim_{x\to+\infty}\frac{(x)'}{\left(e^{\frac{a}{n}x}\right)'} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{a}{n}e^{\frac{a}{n}x}}Так как a>0a > 0 и n>0n > 0, показатель экспоненты положителен, и знаменатель стремится к +∞+\infty. Отсюда:lim⁡x→+∞1aneanx=0\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{a}{n}e^{\frac{a}{n}x}} = 0Поскольку основание стремится к нулю, а показатель степени n>0n > 0, итоговый предел равен:0n=00^n = 0
Демидович № 1337 — решение и ответ