Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1337

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^{ax}}, \qquad a>0,\ n>0

Ответ:

0

Решение

При

x \to +\infty

имеем неопределённость

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

.
Представим выражение в виде:

\lim_{x\to+\infty}\left( \frac{x}{e^{\frac{a}{n}x}} \right)^n = \left( \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{\frac{a}{n}x}} \right)^n

К пределу в скобках применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to+\infty}\frac{(x)'}{\left(e^{\frac{a}{n}x}\right)'} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{a}{n}e^{\frac{a}{n}x}}

Так как

a > 0

n > 0

, показатель экспоненты положителен, и знаменатель стремится к

+\infty

. Отсюда:

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{a}{n}e^{\frac{a}{n}x}} = 0

Поскольку основание стремится к нулю, а показатель степени

n > 0

, итоговый предел равен:

0^n = 0

Проверка

В применении Лопиталя производная знаменателя

(a/n)e^{ax/n}

положительна. Оба выражения внутри отношения стремятся к

+\infty

. Возведение положительного основания в фиксированную степень

n>0

непрерывно, в том числе при подходе основания к нулю справа.