Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1356

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1356

lim⁡x→0(ctg⁡x−1x)\lim_{x\to0}\left(\operatorname{ctg} x-\frac1x\right)
Ответ:00

Решение

При x→0x \to 0 получаем неопределённость [∞−∞][\infty - \infty]. Перепишем котангенс и приведём дроби к общему знаменателю:
lim⁡x→0(cos⁡xsin⁡x−1x)=lim⁡x→0xcos⁡x−sin⁡xxsin⁡x\lim_{x\to0} \left(\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x}\right) = \lim_{x\to0} \frac{x\cos x - \sin x}{x\sin x}Так как при x→0x \to 0 справедливо sin⁡x∼x\sin x \sim x, заменим знаменатель на эквивалентную функцию x2x^2:lim⁡x→0xcos⁡x−sin⁡xx2\lim_{x\to0} \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}Имеем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(xcos⁡x−sin⁡x)′(x2)′=lim⁡x→0cos⁡x−xsin⁡x−cos⁡x2x=lim⁡x→0−xsin⁡x2x\lim_{x\to0} \frac{(x\cos x - \sin x)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{\cos x - x\sin x - \cos x}{2x} = \lim_{x\to0} \frac{-x\sin x}{2x}Сократим на xx:lim⁡x→0(−sin⁡x2)=−02=0\lim_{x\to0} \left( -\frac{\sin x}{2} \right) = -\frac{0}{2} = 0

Проверка

При достаточно малом x≠0x\ne0 синус ненулевой. Отношение исходного знаменателя xsin⁡xx\sin x к x2x^2 стремится к 11, а производная нового знаменателя 2x2x ненулевая; правило Лопиталя применимо.
Демидович № 1356 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика