Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1332

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1332

lim⁡x→0ln⁡(cos⁡ax)ln⁡(cos⁡bx)\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos ax)}{\ln(\cos bx)}
Ответ:a2/b2a^2/b^2 при b≠0b\ne0; при b=0b=0 выражение не определено.

Решение

Сначала разберём допустимые значения параметров. При b=0b=0 знаменатель
тождественно равен нулю, поэтому исходное отношение не определено. Пусть
b≠0b\ne0. Если a=0a=0, числитель тождественно равен нулю, и предел равен
00. Далее считаем a≠0a\ne0 и b≠0b\ne0.

При x→0x\to0 аргументы логарифмов стремятся к 11, поэтому числитель и
знаменатель стремятся к нулю. Получаем неопределённость
[00]\left[\frac{0}{0}\right] и применяем правило Лопиталя:
lim⁡x→0(ln⁡(cos⁡ax))′(ln⁡(cos⁡bx))′=lim⁡x→01cos⁡ax⋅(−asin⁡ax)1cos⁡bx⋅(−bsin⁡bx)=lim⁡x→0−atg⁡ax−btg⁡bx=ablim⁡x→0tg⁡axtg⁡bx\lim_{x\to0}\frac{(\ln(\cos ax))'}{(\ln(\cos bx))'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos ax} \cdot (-a\sin ax)}{\frac{1}{\cos bx} \cdot (-b\sin bx)} = \lim_{x\to0}\frac{-a\operatorname{tg} ax}{-b\operatorname{tg} bx} = \frac{a}{b}\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} ax}{\operatorname{tg} bx}Так как при x→0x \to 0 справедливо эквивалентное соотношение tg⁡kx∼kx\operatorname{tg} kx \sim kx, предел можно упростить:ablim⁡x→0axbx=ab⋅ab=a2b2\frac{a}{b}\lim_{x\to0}\frac{ax}{bx} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2}

Проверка

В основном вычислении a≠0a\ne0 и b≠0b\ne0. Косинусы положительны в
достаточно малой окрестности нуля, а производная знаменателя
−btg⁡(bx)-b\operatorname{tg}(bx) не равна нулю при достаточно малом x≠0x\ne0.
Поэтому правило Лопиталя применимо с обеих сторон. Случаи a=0a=0 и b=0b=0
разобраны до вычисления.
Демидович № 1332 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика