Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1332

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos ax)}{\ln(\cos bx)}

Ответ:

\dfrac{a^2}{b^2}

Решение

Идея

При

x \to 0

аргументы логарифмов стремятся к

1

, поэтому числитель и знаменатель стремятся к нулю. Имеем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{(\ln(\cos ax))'}{(\ln(\cos bx))'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos ax} \cdot (-a\sin ax)}{\frac{1}{\cos bx} \cdot (-b\sin bx)} = \lim_{x\to0}\frac{-a\operatorname{tg} ax}{-b\operatorname{tg} bx} = \frac{a}{b}\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} ax}{\operatorname{tg} bx}

Так как при

x \to 0

справедливо эквивалентное соотношение

\operatorname{tg} kx \sim kx

, предел можно упростить:

\frac{a}{b}\lim_{x\to0}\frac{ax}{bx} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2}