Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1350

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1350

lim⁡x→+0(ln⁡1x)x\lim_{x\to+0}\left(\ln\frac1x\right)^x
Ответ:11

Решение

Так как ln⁡1x=−ln⁡x\ln\frac{1}{x} = -\ln x, при x→+0x \to +0 основание стремится к +∞+\infty, а показатель к 00. Имеем неопределённость [∞0]\left[\infty^0\right].
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
lim⁡x→+0exln⁡(−ln⁡x)\lim_{x\to+0} e^{x \ln(-\ln x)}Рассмотрим предел в показателе степени. Сделаем замену переменной: пусть t=1xt = \frac{1}{x}. Тогда при x→+0x \to +0 переменная t→+∞t \to +\infty, и предел принимает вид:L=lim⁡t→+∞1tln⁡(ln⁡t)=lim⁡t→+∞ln⁡(ln⁡t)tL = \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{t} \ln(\ln t) = \lim_{t\to+\infty} \frac{\ln(\ln t)}{t}Получили неопределённость [∞∞]\left[\frac{\infty}{\infty}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡t→+∞(ln⁡(ln⁡t))′(t)′=lim⁡t→+∞1ln⁡t⋅1t1=lim⁡t→+∞1tln⁡t\lim_{t\to+\infty} \frac{(\ln(\ln t))'}{(t)'} = \lim_{t\to+\infty} \frac{\frac{1}{\ln t} \cdot \frac{1}{t}}{1} = \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{t \ln t}Так как при t→+∞t \to +\infty знаменатель стремится к +∞+\infty, предел равен нулю:L=0L = 0Возвращаемся к исходному пределу:e0=1e^0 = 1

Проверка

При 0<x<10<x<1 исходное основание положительно. После замены берём t>1t>1, где ln⁡ln⁡t\ln\ln t определён и дифференцируем. Производная знаменателя равна 1≠01\ne0, оба выражения стремятся к бесконечности.
Демидович № 1350 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика