Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1363

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1363

Найти пределы:

\text{а) }\lim_{x\to0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};\qquad\text{б) }\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};

\text{в) }\lim_{x\to0}\left(\frac{\operatorname{tg} x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};\qquad\text{г) }\lim_{x\to0}\left(\frac{\operatorname{arctg} x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};

\text{д) }\lim_{x\to0}\left(\frac{\operatorname{Arsh}x}{x}\right)^{\frac1{x^2}},

где

\operatorname{Arsh}x=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).

Решение

Идея

Все пределы имеют вид

\lim\limits_{x\to0} \left(\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}

, где

\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x} = 1

. Таким образом, во всех случаях возникает неопределённость

\left[1^\infty\right]

.
Перейдём к экспоненте, используя основное логарифмическое тождество:

\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x^2} \ln\frac{f(x)}{x} \right)

Рассмотрим предел показателя

L = \lim\limits_{x\to0} \frac{1}{x^2} \ln\frac{f(x)}{x}

.
Представим аргумент логарифма как

1 + \left(\frac{f(x)}{x}-1\right)

и воспользуемся эквивалентной бесконечно малой

\ln(1+u) \sim u

при

u \to 0

L = \lim_{x\to0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{f(x)}{x} - 1 \right) = \lim_{x\to0} \frac{f(x) - x}{x^3}

Теперь для каждого пункта найдём этот предел

L

, применяя правило Лопиталя к неопределённости

\left[\frac{0}{0}\right]

1
Пункт а)
$f(x) = \arcsin x$ $L = \lim_{x\to0} \frac{\arcsin x - x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{(\arcsin x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1}{3x^2}$ Приведём к общему знаменателю и воспользуемся эквивалентностью $\sqrt{1-x^2} - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$ : $L = \lim_{x\to0} \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{3x^2\sqrt{1-x^2}} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{3x^2} = \frac{1}{6}$ Ответ: $e^{1/6}$ .
2
Пункт б)
$f(x) = \sin x$ $L = \lim_{x\to0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{(\sin x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$ Используя $\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$ , получаем: $L = \lim_{x\to0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2} = -\frac{1}{6}$ Ответ: $e^{-1/6}$ .
3
Пункт в)
$f(x) = \operatorname{tg} x$ $L = \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{tg} x - x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{(\operatorname{tg} x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\cos^2 x} - 1}{3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos^2 x}{3x^2\cos^2 x} = \lim_{x\to0} \frac{\sin^2 x}{3x^2}$ Так как $\sin x \sim x$ : $L = \lim_{x\to0} \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}$ Ответ: $e^{1/3}$ .
4
Пункт г)
$f(x) = \operatorname{arctg} x$ $L = \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} x - x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{(\operatorname{arctg} x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = -\frac{1}{3}$ Ответ: $e^{-1/3}$ .
5
Пункт д)
$f(x) = \operatorname{Arsh}x$ $L = \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{Arsh} x - x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{(\operatorname{Arsh} x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - 1}{3x^2}$ Приведём к общему знаменателю и используем $\sqrt{1+x^2} - 1 \sim \frac{1}{2}x^2$ : $L = \lim_{x\to0} \frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{3x^2\sqrt{1+x^2}} = \lim_{x\to0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2} = -\frac{1}{6}$ Ответ: $e^{-1/6}$ .