Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1363

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1363

Найти пределы:а) lim⁡x→0(arcsin⁡xx)1x2;б) lim⁡x→0(sin⁡xx)1x2;\text{а) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};в) lim⁡x→0(tg⁡xx)1x2;г) lim⁡x→0(arctg⁡xx)1x2;\text{в) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\operatorname{tg} x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};
\qquad
\text{г) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\operatorname{arctg} x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};д) lim⁡x→0(Arsh⁡xx)1x2,\text{д) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\operatorname{Arsh}x}{x}\right)^{\frac1{x^2}},гдеArsh⁡x=ln⁡(x+1+x2).\operatorname{Arsh}x=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).

Решение

Все пределы имеют вид lim⁡x→0(f(x)x)1x2\lim\limits_{x\to0} \left(\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}, где lim⁡x→0f(x)x=1\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x} = 1. Таким образом, во всех случаях возникает неопределённость [1∞]\left[1^\infty\right].
Перейдём к экспоненте, используя основное логарифмическое тождество:lim⁡x→0exp⁡(1x2ln⁡f(x)x)\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x^2} \ln\frac{f(x)}{x} \right)Рассмотрим предел показателя L=lim⁡x→01x2ln⁡f(x)xL = \lim\limits_{x\to0} \frac{1}{x^2} \ln\frac{f(x)}{x}.
Представим аргумент логарифма как 1+(f(x)x−1)1 + \left(\frac{f(x)}{x}-1\right) и воспользуемся эквивалентной бесконечно малой ln⁡(1+u)∼u\ln(1+u) \sim u при u→0u \to 0:L=lim⁡x→01x2(f(x)x−1)=lim⁡x→0f(x)−xx3L = \lim_{x\to0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{f(x)}{x} - 1 \right) = \lim_{x\to0} \frac{f(x) - x}{x^3}Теперь для каждого пункта найдём этот предел LL, применяя правило Лопиталя к неопределённости [00]\left[\frac{0}{0}\right].

Пункт а)

f(x)=arcsin⁡xf(x)=\arcsin x. При 0<∣x∣<10<|x|<1 правило Лопиталя даётL=lim⁡x→01/1−x2−13x2.L=\lim_{x\to0}\frac{1/\sqrt{1-x^2}-1}{3x^2}.Умножим числитель на сопряжённое выражение:1−1−x23x21−x2=x23x21−x2(1+1−x2)⟶13⋅1⋅2=16.\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{3x^2\sqrt{1-x^2}}
=\frac{x^2}{3x^2\sqrt{1-x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}
\longrightarrow\frac1{3\cdot1\cdot2}=\frac16.Ответ: e1/6e^{1/6}.

Пункт б)

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x. По правилу Лопиталя и формуле половинного углаL=lim⁡x→0cos⁡x−13x2=−23lim⁡x→0(sin⁡(x/2)x)2=−23(12)2=−16.L=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{3x^2}
=-\frac23\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin(x/2)}x\right)^2
=-\frac23\left(\frac12\right)^2=-\frac16.Здесь sin⁡(x/2)/x=12sin⁡(x/2)/(x/2)→1/2\sin(x/2)/x=\tfrac12\sin(x/2)/(x/2)\to1/2.
Ответ: e−1/6e^{-1/6}.

Пункт в)

f(x)=tg⁡xf(x) = \operatorname{tg} xL=lim⁡x→0tg⁡x−xx3=lim⁡x→0(tg⁡x−x)′(x3)′=lim⁡x→01cos⁡2x−13x2=lim⁡x→01−cos⁡2x3x2cos⁡2x=lim⁡x→0sin⁡2x3x2L = \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{tg} x - x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{(\operatorname{tg} x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\cos^2 x} - 1}{3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos^2 x}{3x^2\cos^2 x} = \lim_{x\to0} \frac{\sin^2 x}{3x^2}Так как sin⁡x∼x\sin x \sim x:L=lim⁡x→0x23x2=13L = \lim_{x\to0} \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}Ответ: e1/3e^{1/3}.

Пункт г)

f(x)=arctg⁡xf(x) = \operatorname{arctg} xL=lim⁡x→0arctg⁡x−xx3=lim⁡x→0(arctg⁡x−x)′(x3)′=lim⁡x→011+x2−13x2=lim⁡x→0−x23x2(1+x2)=−13L = \lim_{x\to0} \frac{\operatorname{arctg} x - x}{x^3} = \lim_{x\to0} \frac{(\operatorname{arctg} x - x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = -\frac{1}{3}Ответ: e−1/3e^{-1/3}.

Пункт д)

f(x)=Arsh⁡xf(x)=\operatorname{Arsh}x. По правилу ЛопиталяL=lim⁡x→01/1+x2−13x2.L=\lim_{x\to0}\frac{1/\sqrt{1+x^2}-1}{3x^2}.Умножение на сопряжённое выражение даёт1−1+x23x21+x2=−x23x21+x2(1+1+x2)⟶−13⋅1⋅2=−16.\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{3x^2\sqrt{1+x^2}}
=\frac{-x^2}{3x^2\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1+x^2})}
\longrightarrow-\frac1{3\cdot1\cdot2}=-\frac16.Ответ: e−1/6e^{-1/6}.

Проверка

В достаточно малой проколотой окрестности нуля каждое отношение f(x)/xf(x)/x положительно, поскольку стремится к f′(0)=1f'(0)=1. Логарифмы поэтому определены. В каждом применении правила Лопиталя к (f(x)−x)/x3(f(x)-x)/x^3 обе функции стремятся к нулю, а производная знаменателя 3x23x^2 положительна при x≠0x\ne0. В пункте в) множитель 1/cos⁡2x1/\cos^2x убран только из-под знака предела: он стремится к 11.
Демидович № 1363 — решение | Высшая математика — Профиматика