Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1342

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+0}x^x

Опирается на

Ответ:

1

Решение

Имеем неопределённость вида

\left[0^0\right]

. Перепишем функцию в показательном виде, используя основное логарифмическое тождество:

\lim_{x\to+0}x^x = \lim_{x\to+0}e^{x\ln x} = e^{\lim_{x\to+0}x\ln x}

Предел в показателе экспоненты является частным случаем предела из задачи при

\varepsilon = 1

\lim_{x\to+0}x\ln x = 0

Тогда искомый предел равен:

e^0 = 1