Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1342

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1342

lim⁡x→+0xx\lim_{x\to+0}x^x

Опирается на задачу 1341

Ответ:11

Решение

Идея

Имеем неопределённость вида [00]\left[0^0\right]. Перепишем функцию в показательном виде, используя основное логарифмическое тождество:
lim⁡x→+0xx=lim⁡x→+0exln⁡x=elim⁡x→+0xln⁡x\lim_{x\to+0}x^x = \lim_{x\to+0}e^{x\ln x} = e^{\lim_{x\to+0}x\ln x}Предел в показателе экспоненты является частным случаем предела из задачи 1341 при ε=1\varepsilon = 1:lim⁡x→+0xln⁡x=0\lim_{x\to+0}x\ln x = 0Тогда искомый предел равен:e0=1e^0 = 1
Демидович № 1342 — решение и ответ