Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1366

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos x}{\operatorname{ch}x}\right)^{\frac1{x^2}}

Ответ:

e^{-1}

Решение

Идея

При

x \to 0

дробь

\frac{\cos x}{\operatorname{ch} x} \to \frac{1}{1} = 1

, а показатель степени

\frac{1}{x^2} \to +\infty

. Возникает неопределённость

\left[1^\infty\right]

. Перейдём к экспоненте:

Проверка

\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x^2} \ln\frac{\cos x}{\operatorname{ch} x} \right)

Рассмотрим предел показателя степени, представив логарифм частного как разность логарифмов:

L = \lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos x) - \ln(\operatorname{ch} x)}{x^2}

Имеем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0} \frac{(\ln(\cos x) - \ln(\operatorname{ch} x))'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\cos x}(-\sin x) - \frac{1}{\operatorname{ch} x}(\operatorname{sh} x)}{2x} = \lim_{x\to0} \frac{-\operatorname{tg} x - \operatorname{th} x}{2x}

Снова получаем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя второй раз:

\lim_{x\to0} \frac{(-\operatorname{tg} x - \operatorname{th} x)'}{(2x)'} = \lim_{x\to0} \frac{-\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}}{2}

Теперь неопределённость устранена. Вычисляем предел прямой подстановкой

x=0

\frac{-\frac{1}{1^2} - \frac{1}{1^2}}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = -1

Следовательно, исходный предел равен:

e^{-1} = \frac{1}{e}