Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1366

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1366

lim⁡x→0(cos⁡xch⁡x)1x2\lim_{x\to0}
\left(\frac{\cos x}{\operatorname{ch}x}\right)^{\frac1{x^2}}
Ответ:e−1e^{-1}

Решение

При x→0x \to 0 дробь cos⁡xch⁡x→11=1\frac{\cos x}{\operatorname{ch} x} \to \frac{1}{1} = 1, а показатель степени 1x2→+∞\frac{1}{x^2} \to +\infty. Возникает неопределённость [1∞]\left[1^\infty\right]. Перейдём к экспоненте:
lim⁡x→0exp⁡(1x2ln⁡cos⁡xch⁡x)\lim_{x\to0} \exp\left( \frac{1}{x^2} \ln\frac{\cos x}{\operatorname{ch} x} \right)Рассмотрим предел показателя степени, представив логарифм частного как разность логарифмов:L=lim⁡x→0ln⁡(cos⁡x)−ln⁡(ch⁡x)x2L = \lim_{x\to0} \frac{\ln(\cos x) - \ln(\operatorname{ch} x)}{x^2}Имеем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(ln⁡(cos⁡x)−ln⁡(ch⁡x))′(x2)′=lim⁡x→01cos⁡x(−sin⁡x)−1ch⁡x(sh⁡x)2x=lim⁡x→0−tg⁡x−th⁡x2x\lim_{x\to0} \frac{(\ln(\cos x) - \ln(\operatorname{ch} x))'}{(x^2)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\cos x}(-\sin x) - \frac{1}{\operatorname{ch} x}(\operatorname{sh} x)}{2x} = \lim_{x\to0} \frac{-\operatorname{tg} x - \operatorname{th} x}{2x}Снова получаем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя второй раз:lim⁡x→0(−tg⁡x−th⁡x)′(2x)′=lim⁡x→0−1cos⁡2x−1ch⁡2x2\lim_{x\to0} \frac{(-\operatorname{tg} x - \operatorname{th} x)'}{(2x)'} = \lim_{x\to0} \frac{-\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}}{2}Теперь неопределённость устранена. Вычисляем предел прямой подстановкой x=0x=0:−112−1122=−1−12=−1\frac{-\frac{1}{1^2} - \frac{1}{1^2}}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = -1Следовательно, исходный предел равен:e−1=1ee^{-1} = \frac{1}{e}

Проверка

При ∣x∣<π/2|x|<\pi/2 обе функции под логарифмами положительны. В каждом из двух отношений перед дифференцированием возникает вид 0/00/0, а производные знаменателей 2x2x и 22 не равны нулю в проколотой окрестности нуля.