Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1348

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to\frac\pi4}(\operatorname{tg} x)^{\operatorname{tg}2x}

Ответ:

e^{-1}

Решение

Идея

При

x \to \frac{\pi}{4}

основание

\operatorname{tg} x \to 1

, а показатель

\operatorname{tg} 2x \to \infty

. Возникает неопределённость

\left[1^\infty\right]

.
Перейдём к основанию

e

\lim_{x\to\frac\pi4} e^{\operatorname{tg} 2x \cdot \ln(\operatorname{tg} x)}

Рассмотрим предел показателя. Опустим

\operatorname{tg} 2x

в знаменатель, чтобы получить неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

L = \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\ln(\operatorname{tg} x)}{\operatorname{ctg} 2x}

Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to\frac\pi4} \frac{(\ln(\operatorname{tg} x))'}{(\operatorname{ctg} 2x)'} = \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\frac{1}{\operatorname{tg} x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{-\frac{2}{\sin^2 2x}} = \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{-\frac{2}{\sin^2 2x}}

Так как

2 \sin x \cos x = \sin 2x

, числитель равен

\frac{2}{\sin 2x}

\lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\frac{2}{\sin 2x}}{-\frac{2}{\sin^2 2x}} = \lim_{x\to\frac\pi4} (-\sin 2x)

Вычислим предел при

x \to \frac{\pi}{4}

-\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1

Итоговый предел:

e^{-1} = \frac{1}{e}