Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1348

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1348

lim⁡x→π4(tg⁡x)tg⁡2x\lim_{x\to\frac\pi4}(\operatorname{tg} x)^{\operatorname{tg}2x}
Ответ:e−1e^{-1}

Решение

При x→π4x \to \frac{\pi}{4} основание tg⁡x→1\operatorname{tg} x \to 1, а показатель ∣tg⁡2x∣→+∞|\operatorname{tg}2x|\to+\infty. Возникает неопределённость [1∞]\left[1^\infty\right].
Перейдём к основанию ee:
lim⁡x→π4etg⁡2x⋅ln⁡(tg⁡x)\lim_{x\to\frac\pi4} e^{\operatorname{tg} 2x \cdot \ln(\operatorname{tg} x)}Рассмотрим предел показателя. Опустим tg⁡2x\operatorname{tg} 2x в знаменатель, чтобы получить неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]:L=lim⁡x→π4ln⁡(tg⁡x)ctg⁡2xL = \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\ln(\operatorname{tg} x)}{\operatorname{ctg} 2x}Применим правило Лопиталя:lim⁡x→π4(ln⁡(tg⁡x))′(ctg⁡2x)′=lim⁡x→π41tg⁡x⋅1cos⁡2x−2sin⁡22x=lim⁡x→π41sin⁡xcos⁡x−2sin⁡22x\lim_{x\to\frac\pi4} \frac{(\ln(\operatorname{tg} x))'}{(\operatorname{ctg} 2x)'} = \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\frac{1}{\operatorname{tg} x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{-\frac{2}{\sin^2 2x}} = \lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{-\frac{2}{\sin^2 2x}}Так как 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2 \sin x \cos x = \sin 2x, числитель равен 2sin⁡2x\frac{2}{\sin 2x}:lim⁡x→π42sin⁡2x−2sin⁡22x=lim⁡x→π4(−sin⁡2x)\lim_{x\to\frac\pi4} \frac{\frac{2}{\sin 2x}}{-\frac{2}{\sin^2 2x}} = \lim_{x\to\frac\pi4} (-\sin 2x)Вычислим предел при x→π4x \to \frac{\pi}{4}:−sin⁡(2⋅π4)=−sin⁡π2=−1-\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1Итоговый предел:e−1=1ee^{-1} = \frac{1}{e}

Проверка

Около π/4\pi/4 тангенс положителен. Производная знаменателя после логарифмирования равна −2/sin⁡22x≠0-2/\sin^22x\ne0. Поэтому правило Лопиталя применимо к виду 0/00/0 с обеих сторон.
Демидович № 1348 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика