Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1349

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1349

lim⁡x→+0(ctg⁡x)sin⁡x\lim_{x\to+0}(\operatorname{ctg} x)^{\sin x}
Ответ:11

Решение

Чтобы основание степени ctg⁡x\operatorname{ctg} x было положительным и функция имела действительные значения, будем рассматривать правосторонний предел: x→+0x \to +0.
При x→+0x \to +0 основание ctg⁡x→+∞\operatorname{ctg} x \to +\infty, а показатель sin⁡x→0\sin x \to 0. Имеем неопределённость [∞0]\left[\infty^0\right].
Перейдём к экспоненциальной форме:
lim⁡x→+0esin⁡x⋅ln⁡(ctg⁡x)\lim_{x\to+0} e^{\sin x \cdot \ln(\operatorname{ctg} x)}Рассмотрим предел показателя. Представим логарифм частного как разность логарифмов:L=lim⁡x→+0sin⁡xln⁡(cos⁡xsin⁡x)=lim⁡x→+0(sin⁡xln⁡(cos⁡x)−sin⁡xln⁡(sin⁡x))L = \lim_{x\to+0} \sin x \ln\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = \lim_{x\to+0} \left( \sin x \ln(\cos x) - \sin x \ln(\sin x) \right)Найдём предел каждого слагаемого отдельно.
Для первого слагаемого неопределённости нет:lim⁡x→+0sin⁡xln⁡(cos⁡x)=0⋅ln⁡1=0⋅0=0\lim_{x\to+0} \sin x \ln(\cos x) = 0 \cdot \ln 1 = 0 \cdot 0 = 0Для второго слагаемого имеем неопределённость [0⋅(−∞)][0 \cdot (-\infty)]. Сделаем замену t=sin⁡xt = \sin x (при x→+0x \to +0 переменная t→+0t \to +0):lim⁡x→+0sin⁡xln⁡(sin⁡x)=lim⁡t→+0tln⁡t\lim_{x\to+0} \sin x \ln(\sin x) = \lim_{t\to+0} t \ln tОпустим tt в знаменатель и применим правило Лопиталя [∞∞]\left[\frac{\infty}{\infty}\right]:lim⁡t→+0ln⁡tt−1=lim⁡t→+01t−t−2=lim⁡t→+0(−t)=0\lim_{t\to+0} \frac{\ln t}{t^{-1}} = \lim_{t\to+0} \frac{\frac{1}{t}}{-t^{-2}} = \lim_{t\to+0} (-t) = 0Таким образом, предел показателя равен L=0−0=0L = 0 - 0 = 0.
Следовательно, исходный предел равен:e0=1e^0 = 1

Проверка

Рассматриваем 0<x<π/20<x<\pi/2, где все логарифмы определены. При замене t=sin⁡xt=\sin x получаем t>0t>0, а производная знаменателя t−1t^{-1} равна −t−2≠0-t^{-2}\ne0; правило Лопиталя применимо к виду ∞/∞\infty/\infty.
Демидович № 1349 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика